Когда прямые искривляются

Саккери показал, что пятый постулат эквивалентен гипотезе о прямых углах, а затем попытался доказать, что другие гипотезы приводят к противоречию. Если бы ему это удалось, то постулат был бы доказан. Рассматривая вторую гипотезу (случай тупых углов), он получил противоречие и отбросил эту возможность. Еще раньше он показал, что сумма четырех углов должна быть меньше или равна 360°. Но для гипотезы острых углов ему не удалось получить противоречия. Теперь-то мы точно знаем, что противоречия не существует, и гипотеза об острых углах является одной из основ неевклидовой геометрии. Спустя столетие Ламберт, о котором мы подробнее расскажем позже, также безуспешно попытался доказать постулат исходя из того, что углы А, В и D являются прямыми.

Исходя из гипотезы об острых углах, Саккери получил различные результаты неевклидовой геометрии. Например, он показал, что гипотезы о прямых, тупых и острых углах эквивалентны тому, что сумма внутренних углов треугольника равна, больше или меньше двух прямых углов соответственно. Он также доказал некоторые результаты, необычные для евклидовой геометрии. Вот один из них.

Пусть точка Р находится вне прямой линии l. Если мы рассмотрим все прямые, проходящие через Р, то увидим, что существуют две предельные прямые (в математических терминах они называются «асимптотическими»), обозначенные на рисунке буквами m и n. Они делят пучок всех прямых на две части, в одной из которых находятся все прямые линии, которые пересекают прямую l (например, пунктирная прямая s), а в другой — все прямые, которые l не пересекают (например, пунктирная прямая l).

Геометрия, построенная на гипотезе об острых углах и тем самым отрицающая пятый постулат, в наше время известна как гиперболическая.

На следующем рисунке показано, как в гиперболической геометрии выглядит предыдущий рисунок. Теперь прямые линии тип изображены в виде кривых не потому, что они действительно такие, а для того чтобы не возникло путаницы с евклидовой ситуацией. На таком рисунке хорошо видно, что представляют собой асимптотические прямые шип.

Представление прямых линий кривыми очень полезно для понимания и изучения гиперболической геометрии, каким бы нелогичным это ни казалось в евклидовом смысле.

Работа Саккери содержит первые результаты этой новой геометрии. Достижение итальянского математика поразительно, но, к сожалению, ему не хватило смелости. Осознавая странность своих выводов, он пишет в предложении XXXIII своего трактата: «Гипотеза об острых углах является абсолютно ложной, поскольку противоречит самому понятию прямой линии». Казалось, что задача о параллельных прямых останется нерешенной еще многие годы.

На пути к неевклидовой геометрии

В XVIII в., в эпоху Просвещения, была посмертно издана книга швейцарского математика Иоганна Генриха Ламберта (1728–1777) под названием «Теория параллельных». В ней Ламберт выразил сомнение, что пятый постулат может быть выведен из других, и предположил, что, возможно, необходимы некоторые дополнительные гипотезы.

Саккери и Ламберт так и не нашли неопровержимого доказательства того, что пятый постулат невозможно доказать. Последующие попытки доказательства всегда возвращались к исходной точке, лишь порождая новые запутанные понятия. Как мы уже говорили, проблема заключалась в том, что все доказательства неявно использовали результат, который нужно было доказать.

Математическое сообщество убедилось, что постулат о параллельных прямых является настоящим постулатом, а не теоремой, и поэтому не требует доказательства. С другой стороны, хотя все попытки доказательства потерпели неудачу, получаемые результаты не содержали противоречий. Попытки доказать пятый постулат Евклида приводили математиков к понятиям неевклидовой геометрии.

* * *

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК ЛАМБЕРТА

Ламберт составил список нескольких утверждений, которые должны быть доказаны, среди них — и пятый постулат. В последней главе своей книги он рассматривал четырехугольники с тремя прямыми углами (А, В и D).

Для четвертого угла снова было три возможности. Четырехугольником Ламберта называют такой четырехугольник ABCD, у которого углы А, В и D прямые, а угол С не равен 90°.

Глава 4 Становление неевклидовой геометрии

Самой первой неевклидовой геометрией была гиперболическая геометрия, которая возникла путем замены пятого постулата Евклида следующим утверждением:

«Через точку Р вне данной прямой проходит более одной прямой, параллельной данной».