Когда ты была рыбкой, головастиком - я...

Я послал эту диковинку, обнаруженную доктором Матриксом, своему другу Оуэну О'Ши, который родом из ирландского города Cobh (произносится «Коув»). Он — автор недавно вышедших «Магических чисел Профессора» [66]. В ответ Оуэн написал мне о множестве других удивительных свойств этого якобы «неинтересного» алфавитного числа. Например, оно раскладывается по степеням простых чисел как произведение 210, 33,5 и 61843. Это означает, что 8 549 176 320 без остатка делится на все числа от 1 до 9, исключая 7. Множитель 61 843 (тоже простое число) возникает довольно неожиданно.

О'Ши двумя способами делит число 8 549 176 320 по разрядам, получив следующее уравнение:

854 + 917 + 632 + 0 = 8 · 5 · 49 + (1 · 7 · 63) + 2 + 0

Каждая часть равна 2403.

Затем О'Ши составил число, воспользовавшись обратным алфавитным порядком, и получил 0 236 719 458. Представив разряды этого числа в виде слагаемых: 0 + 2367 + 19 + 4 + 5 + 8, — он снова пришел к сумме 2403.

Два американских математика, Джеймс Смоук и Томас Дж. Ослер, в своей книге «Волшебный трюк Фибоначчи» [67]сообщают еще об одном удивительном фокусе. Возьмем дробь 100/89. В десятичном виде она равна 1,123 595 505 61… Первые пять цифр в ней — это первые пять чисел Фибоначчи [68].

Добавьте два нуля в числитель и по девятке в начало и конец знаменателя, и у вас получится дробь 10000/9899, то есть

1,0102030508132134559046368…

Заметьте: первая единица, а затем девять следующих парцифр представляют собой десять первых чисел в ряду Фибоначчи!

Авторы приводят доказательство, что если такую процедуру повторять бесконечно, то можно получить всечисла Фибоначчи из этого ряда! Каждый следующий шаг увеличивает количество получаемых чисел Фибоначчи на пять. Таким образом, если представить дробь 1000000/998999 в десятичном виде и объединить составляющие ее цифры в триады, мы увидим, что перед нами первые пятнадцатьчисел Фибоначчи; следующий шаг даст нам первые двадцать пять элементов ряда, и так до бесконечности!

Этот забавный случай рассмотрен в упражнении G43 «Конкретной математики» Грэхема, Кнута и Паташника [69], заметивших, что данное явление впервые обнаружили Брук и Уолл (дается ссылка на их статью в «Fibonacci Quarterly») [70]. Кнут сообщил мне, что похожие дроби, такие как 1000000/989899 и 1000000000/898998999, сходным образом порождают числа трибоначчи!

Полагаю, мало кто из математиков догадывается, что ряд Фибоначчи может служить основой для арифметической записи. Каждое целое положительное число можно уникальным способом выразить как сумму некоторого набора чисел Фибоначчи, не следующих одно за другим. Знаете ли вы, что двенадцатое число Фибоначчи — квадрат двенадцати, 144? Это единственное число Фибоначчи, являющееся полным квадратом, если не считать 1. А «кубы Фибоначчи» — только 1 и 8. Другие забавные подробности см. в главе 13 моего «Математического цирка» [71].

А существует ли простой способ проверить, принадлежит ли какое-нибудь число к ряду Фибоначчи? Да, такой способ есть. Целое положительное число n является числом Фибоначчи, если (и только если) 5n ²+ 4 или 5n ²— 4 представляет собой полный квадрат! Можете развлечься, проверяя какие-нибудь целые положительные числа на калькуляторе. 666 — число Фибоначчи? Нет! А 123? A 987?

И наконец — странное уравнение, объединяющее ряд Фибоначчи с последовательностью факториалов и дающее в пределе значение числа е. Подобно , это трансцендентное число так и норовит появиться в самых неожиданных местах. Загадочную дробь мне прислал О'Ши, добавив, что нашел ее в Интернете.

Глава 11 Покрытие «изуродованных» шахматных досок с помощью L-тримино

Среди современных математиков приобрела большую популярность так называемая теория покрытий. Нижеследующий текст первоначально был опубликован в «College Mathematical Journal» (май 2009).

Введение

Пусть стандартную шахматную доску «изуродовали», удалив два крайних угловых поля, расположенных по диагонали друг напротив друга. Можно ли оставшиеся 62 квадрата покрыть с помощью 31 прямоугольной костяшки домино? Ответ — нет, потому что убранные квадраты — одногоцвета. Допустим, их цвет — белый. Тогда среди оставшихся 62 полей окажутся два «лишних» черных квадрата. Между тем каждая костяшка домино покрывает одну черную и одну белую клетку. После того как мы поместим на доску 30 костяшек, две черные клетки останутся свободными. Они не могут примыкать друг к другу (иметь общую сторону), а следовательно, их невозможно покрыть при помощи костяшек домино. Эта широко известная задача, которая решается элементарной проверкой равенства, являет собой простой пример задачи покрытия изуродованной шахматной доски.