Корпорация «Попс»

Аксиомы — то, на чем строятся доказательства, вроде утверждения «1 + 1 = 2», — иногда называют «самоочевидными»; другие «аксиомы» оказались теоремами и были доказаны. Две точки всегда можно соединить прямой линией. Все прямые углы равны между собой. Все целые составные числа являются произведением меньших простых. Это — аксиомы. Они слегка похожи на отправные точки путешествия. Выходишь из одного пункта, и, следуя указаниям, прибываешь в другой. Однако нужно знать, откуда именно стартуешь, прежде чем сможешь получить или использовать указания. Если получишь правильные указания, но пойдешь не оттуда, откуда надо, в конце концов окажешься в каком-нибудь совершенно неожиданном месте. Доказательство, сформулированное с помощью ложных аксиом, заведет в тупик.

До лекции Гильберта теория множеств одарила математику множеством проблем. А без множеств в непротиворечивой математике не обойтись. Они говорят тебе, чем вещи являются, а чем — нет; какие идеи имеют одни и те же свойства или подчиняются одинаковым правилам (а также с какими различными типами бесконечности ты можешь столкнуться). На них базируются аксиомы. Ты говоришь: «Множество треугольников — это множество трехсторонних двумерных фигур, сумма углов которых равна 180°», и, пока ведешь речь о треугольниках на плоскости, а не на сфере, у тебя все в порядке. Но в 1903 году Бертран Рассел изобрел несколько парадоксов, иллюстрирующих следующую проблему: множество (или класс) не может содержать само себя. Представьте Севильского Цирюльника. Он бреет каждого мужчину, который не бреется сам. Так вот, бреется ли Цирюльник? Если да, тогда нет, а если нет, тогда — да! Точно как в парадоксе «Лжец»! Несмотря на свою очевидную любовь к парадоксам, Расселл далее попытался разрулить такого рода проблемы, со своим учителем Альфредом Нортом Уайтхедом написав «Principia Mathematica», опубликованные в 1910 году. В трех пухлых томах эта работа фиксировала основные аксиомы и правила математики. После этого все в математике было о'кей — по крайней мере, как в старые добрые времена, — и никакие мерзкие парадоксы не мутили воду, пока не явился Курт Гёдель и все опять не испортил, доказав в 1930 году две теоремы, которым суждено было стать известными под общим названием Гёделевской теоремы о неполноте. Его теории объясняли, как можно отыскивать фундаментальные парадоксы в системе математики. Он сделал это, использовав код.

Как я поняла (а я, в конце концов, ребенок, так что это — упрощенная версия), Гёдель изобрел умный способ присваивать утверждениям числовые коды. Он действовал так: присваивал числа всем частям математического (или иного) утверждения, а потом использовал эти числа для получения другого — уникального, большого числа. Оказывается, это в точности как составление тайного кода! Гёделевский код был чуть изощреннее, но, скажем, вы приписываете математическим символам следующие значения:

У всех символов теперь есть номера, с которыми можно работать. Утверждение «1 + 1 = 2» в этой системе будет представлено последовательностью «6, 3, 6, 5, 7». А сейчас — умный ход. Чтобы превратить эту комбинацию в уникальное большое число, нужно использовать простые числа. Вы берете ряд простых чисел — вспомните: он начинается 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… — и возводите первое простое в степень вашего первого числа, второе — в степень второго и так далее. Потом перемножаете результаты. В данном случае у вас получится 26×33×56×75×117, что равно 8 843 063 840 920 000 000. Зверски огромное число! Оно даже толком не влезает на экран моего калькулятора.

Каждое составное число является уникальным произведением своих простых делителей. 21 можно разложить только как 3×7. И никак иначе. То же самое с созданным нами огромным числом. Оно может быть только произведением данной комбинации степеней простых чисел. Стало быть, чтобы получить теперь ваше первоначальное утверждение, остается лишь факторизовать это число. Но помилуйте! Порой у меня уходит больше часа на разложение трехзначного числа. Кто возьмется сесть и расколоть это — и все лишь затем, чтобы выяснить: 1 + 1 = 2? Но, оказывается, эта система кодирования не предназначена для практики. Она изобретена только для демонстрации того, что может произойти. Теорема Гёделя гласит, что так закодировать можно вообще любое утверждение. Не имеет значения, насколько легко проделать все нужные калькуляции; важна единственность результата. С помощью своей системы Гёдель доказал, что возможна ситуация, в которой число 128 936 (к примеру) будет кодом утверждения: «Утверждение номер 128 936 доказать нельзя». Может быть, не так уж и вероятно, но все равно возможно.