Космические рубежи теории относительности

Этот способ определения кривизны можно распространить на пространства большего числа измерений. Чтобы понять, как это можно сделать, вспомните, что на двумерной поверхности (или в 2-пространстве) муравьи разбежались во всех возможных направлениях от одной исходной точки по данной поверхности. В конце своего путешествия они выстроились по кривой, напоминающей окружность. В трёхмерном пространстве (3-пространстве) муравьи вновь разбегаются от общей исходной точки во всех возможных направлениях в данном пространстве. В конце своего путешествия они выстроятся по замкнутой поверхности, напоминающей поверхность сферы. Кривизна 3-пространства определяется отклонением площади поверхности получившейся деформированной сферы от величины 4πr² - площади поверхности сферы в плоском пространстве. Аналогично в четырёхмерном пространстве (4-пространстве) муравьи разбегаются от общей исходной точки во всех возможных направлениях. В конце своего путешествия они выстроятся по «поверхности», которую можно назвать гиперсферой. Кривизна такого 4-пространства может быть найдена из сравнения величины трёхмерной «поверхности» гиперсферы с аналогичной величиной для случая плоского 4-пространства.

В XIX в. такие математики, как Бернгард Риман, Эльвин Бруно Кристоффель и Грегорио Риччи, разработали полную теорию искривлённых пространств произвольного числа измерений. Результатом их трудов была новая область математики, именуемая тензорным анализом, который оперирует новыми математическими величинами -тензорами. Математическая величина R_αβγδ - тензор кривизны Римана - содержит всю информацию об искривлённом пространстве соответствующего (произвольного) числа измерений. Из тензора кривизны Римана можно построить другую математическую величину - тензор Риччи R_αβ который сохраняет значительную часть той же информации. Именно это искал Эйнштейн!

Представление о тяготении как о силе можно преодолеть, воспользовавшись понятием локального ускорения. Трудность применения частной теории относительности к локально ускоренным ячейкам пространства - маленьким «комнаткам», взятым вместе, - можно преодолеть, если допустить, что пространство-время искривлено. Так мы подходим к удивительной гармонии -появляется мысль, что гравитационное поле любого тела нужно рассматривать как искажение геометрии пространства и времени. Эта идея - основа общей теории относительности.

В порыве вдохновения Эйнштейн понял, что гравитационное поле, окружающее объект, можно описать как кривизну пространства-времени, для которой тензор Риччи равен нулю. Уравнение R_αβ = 0 указывает, насколько пространство-время искривлено гравитационным полем тела. Это простое соотношение называют поэтому уравнениями тяготения в пустом пространстве. Решая эти уравнения, можно определить геометрию пространства-времени около Земли или около Солнца. Однако внутри Земли, как и внутри Солнца, пространство уже не пустое. Чтобы описать искривление пространства-времени в присутствии вещества, Эйнштейн вывел другую систему уравнений гравитационного поля. Из тензора Риччи можно непосредственно получить новую величину - тензор Эйнштейна G_αβ - В общем случае уравнения Эйнштейна для поля тяготения обычно записываются так: в левой части стоят математические величины (компоненты тензора Эйнштейна G_αβ), относящиеся только к геометрии пространства-времени, а в правой - математические величины (компоненты тензора энергии-импульса натяжений T_αβ), относящиеся только к физическим свойствам вещества (и полей), которые являются источниками гравитационного поля (рис. 4.20). Записав таким образом уравнения Эйнштейна, мы устанавливаем в сущности эквивалентность геометрии и распределения материи. Фундаментальным содержанием уравнений поля оказывается утверждение: геометрия пространства-времени указывает материи, какие свойства она должна иметь; одновременно материя указывает пространству-времени, как оно должно быть искривлено.

G_αβ=8πT_αβ

РИС. 4.20. Уравнение гравитационного поля в общей теории относительности. Уравнения Эйнштейна выражают тяготение через геометрию пространства-времени. Материя указывает пространству-времени, насколько оно должно быть искривлено, а искривлённое пространство-время указывает материи, как она должна себя в нём вести.