Красота в квадрате Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры

Итеративность этого процесса обусловлена тем, что результаты каждого действия (в данном случае удвоения) используются в качестве исходных данных для следующего действия. Итерация — это система с обратной связью: число, полученное на выходе, снова подается на вход, обеспечивая получение нового числа, и т. д.

А теперь давайте рассмотрим простую итерацию x → x².

Если мы начнем с 1, то получим следующие значения:

1 → 1² = 1

1 → 1

1 → 1

Другими словами, эта последовательность состоит из бесконечного количества единиц.

Если начнем с 2, последовательность будет такой:

2 → 2² = 4

4 → 16

16 → 256

256 → 65536 → …

Эта последовательность стремится к бесконечности.

Если же последовательность начинается со значения 0,1, тогда мы получим:

0,1 → (0,1)² = 0,01

0,01 → 0,0001

0,0001 → 0,00000001 → …

Эта последовательность стремится к нулю.

Мы можем обобщить поведение всех чисел, принимающих участие в этой итерации. Если положительное число n больше 1, его квадрат n² больше n, а значит, числа, полученные посредством итерации, становятся все больше. Если положительное число n меньше 1, тогда n² составляет долю от n, то есть числа, полученные посредством итерации, все время уменьшаются и стремятся к нулю. Поскольку квадрат отрицательного числа — это положительное число, все числа меньше −1 стремятся к бесконечности, а все отрицательные числа от −1 до 0 — к нулю.

Назовем числа, которые стремятся к бесконечности, словом «беглецы», а числа, которые не делают этого, — словом «узники». В случае итерации x → x² мы видели, что число 2 — это беглец, а числа 1 и 0,1 — узники. В оставшейся части главы мы будем искать узников любой итерации, которых обозначим как «множество узников». В итерации x → x² множество узников — это числа от −1 до 1; на представленном ниже рисунке они отмечены жирной линией.

Множество узников итерации x → x²

Рассмотрим новую итерацию x → x² + c, где c — исходное значение итерации. Другими словами, наша система с обратной связью поглощает немного больше информации, чем обычно. Она начинает с числа c, возводит его в квадрат и прибавляет c, возводит результат в квадрат и прибавляет c, возводит результат в квадрат и прибавляет c и т. д. Это небольшое изменение правил влечет за собой серьезные последствия в плане определения того, какие исходные значения относятся к узникам, а какие — к беглецам.

Начнем с числа 1, которое, как мы выдели выше, является узником в итерации x → x². В случае итерации x → x² + c оно становится беглецом (обратите внимание, что мы начинаем с 1, а значит, c = 1):

1 → 1² + 1 = 2

2 → 2² + 1 = 5

5 → 26

26 → 677 → 458330 → …

А теперь давайте посмотрим, что произойдет с числом −2, которое является беглецом в итерации x → x². В случае итерации x → x² + c оно превращается в узника (обратите внимание, что мы начинаем с −2, значит, c = −2):

–2 → –2² – 2 = 2

2 → 2² –2 = 2

2 →2

2 →2

…

Оказывается, в итерации x → x² + c множество узников содержат числа от −2 до 0,25, как показано на рисунке ниже.

Множество узников итерации x → x²+ с

Теперь поиграем в игру «узники против беглецов» на комплексной плоскости — системе координат, в которой каждая точка определяется комплексным числом. Для начала давайте вспомним, как на комплексной плоскости выполняется операция умножения: умножение на число i эквивалентно повороту против часовой стрелки на 90 градусов. В более общем виде, когда два комплексных числа умножаются друг на друга, углы, которые образуют соответствующие точки с горизонтальной осью, необходимо сложить, а расстояния от начала координат — умножить. (Обозначим комплексные числа символом z, а не a + bi.) На представленном ниже рисунке комплексное число z₁ находится под углом θ градусов к горизонтали, на расстоянии r, а число z₂ — под углом ϕ градусов к горизонтали, на расстоянии R. Таким образом, комплексное число z₁ × z₂ расположено под углом θ + ϕ градусов по отношению к горизонтальной оси, на расстоянии r × R. Теперь становится понятно, почему умножение на i — это четверть оборота. Число i — это точка на комплексной плоскости с координатами (0, 1), одна единица вверх по мнимой оси, под прямым углом к горизонтали. Следовательно, умножение комплексного числа, представленного соответствующей точкой на комплексной плоскости, на число i, сводится к повороту на 90 градусов против часовой стрелки и умножению расстояния этой точки от начала координат на 1, значит, расстояние остается прежним — это и есть математическое описание четверти оборота.

Умножение на комплексной плоскости

Что происходит с комплексными числами в итерации z → z₂?

Начнем с мнимого числа i:

i → i² = –1

–1 → 1

1 → 1

Следовательно, i принадлежит множеству узников.