Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры

Джон фон Нейман и Станислав Улам разработали клеточный автомат для решения задачи, возникшей под влиянием реального мира: что понадобится машине для того, чтобы построить точную копию самой себя. От перспективы будущего, в котором есть самовоспроизводящиеся машины, кровь стынет в жилах. Однако Джон Конвей подхватил эту идею и превратил в причудливое и захватывающее математическое развлечение. Впоследствии идея клеточных автоматов была переосмыслена и нашла применение, не связанное с самовоспроизведением. Это хорошо знакомый процесс: математики живут задачами, существующими в реальном мире; играют с различными концепциями ради удовольствия, а затем для этих концепций (может, годы, столетия или даже тысячелетия спустя) обнаруживаются новые области применения. Дальнейшее развитие технологий невозможно без свежих математических идей, а наука обретает все большую способность объяснить суть того мира, в котором мы живем. В начале книги я говорил, что математика сродни шутке. Я хотел бы изменить эту формулировку. Математика — это игра и всегда ею была.

Математика — это игра жизни.

Глоссарий

Аксиома (axiom): утверждение, которое считается истинным и из которого выводятся другие утверждения.

Алгебраическое (полиномиальное) уравнение (polynomial equation): уравнение, содержащее постоянные и переменные, в котором используются только операции сложения, вычитания и умножения, а также возведения в степень. Все уравнения, изучаемые в школе, относятся к категории алгебраических уравнений.

Биссектриса (bisector): прямая, проходящая через вершину угла и делящая его пополам.

Быстрое преобразование Фурье (Fast Fourier Transform, FFT): алгоритм, позволяющий быстро рассчитать ряд Фурье.

Вершина (vertex): одна из угловых точек треугольника или любой другой фигуры, образованной прямыми линиями.

Гармонограф (harmonograph): чертежное устройство, в котором пишущий элемент совершает простые гармонические колебания минимум в двух непараллельных направлениях.

Геометрическое место точек (locus): кривая, состоящая из точек, удовлетворяющих определенному математическому условию.

Гипотеза (conjecture): недоказанное утверждение, которое предполагается истинным.

Гипотенуза (hypotenuse): сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла.

Градиент (gradient): степень наклона, или скорость изменения расстояния по вертикали в зависимости от расстояния по горизонтали.

Двойной логарифмический масштаб (log-log scales): система координат, в которой обе оси размечены в логарифмическом масштабе.

Действительное число (real number): точки на числовой оси, которым соответствуют целые числа, простые дроби или такие числа, как π и е, которые не могут быть записаны в виде простых дробей.

Дифференциальное уравнение (differential equation): уравнение, включающее в себя производные или интегралы.

Дифференцирование (differentiation): процесс преобразования функции в ее производную.

Доказательство (proof): логическое обоснование истинности теоремы.

e: константа экспоненциального роста, значение которой начинается с 2,718.

Закон Бенфорда (Benford’s law): явление, при котором во многих массивах данных, формирующихся естественным образом, вероятность цифры 1 на первом месте составляет 30,1 процента, цифры 2 — 17,6 процента и т. д.

Закон дистрибутивности (distributive law): основной закон арифметики, который гласит, что для любых чисел a, b и c верно равенство (a + b) c = ac + bc.

Закон масштабирования (scaling law): равенство, в котором одна переменная представляет собой размер объекта, а другая меняется в зависимости от этого размера.

i: символ для обозначения √–1.

Интеграл (integral): формула вычисления площади под кривой, или скорости нарастания переменной величины.

Интегрирование (integration): процесс преобразования функции в интеграл.

Исчисление (calculus): обобщающий термин, которым обозначаются дифференцирование и интегрирование — математические инструменты, применяемые для анализа величин, меняющихся в зависимости друг от друга.

Касательная (tangent): прямая линия, прикасающаяся к кривой в одной точке.

Клеточный автомат (cellular automaton): математическая модель, состоящая из дискретных клеток, состояние которых меняется каждую единицу времени в зависимости от состояния соседних клеток.