Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры

Семья Бернулли, первоначально обитавшая в Антверпене, скрывалась от преследований протестантов испанскими католическими властями. В начале XVII века торговцы специями Бернулли обосновались в швейцарском городе Базеле. Якоб, родившийся в 1654 году, был первым математиком в семье, которой предстояло стать великой династией ученых в разных областях науки. За три поколения восемь представителей семьи Бернулли заслужили звание выдающихся математиков, причем каждый сделал открытие, названное его именем. Якобу, изучавшему сложный процент, наибольшую известность принесла первая крупная работа по теории вероятности. По словам одного историка, он был «своевольным, упрямым, агрессивным, мстительным, одолеваемым чувством неполноценности, но все же твердо убежденным в своей уникальности»[111]. Из-за этого у него часто возникали конфликты с Иоганном, который был на тринадцать лет младше, но имел такой же скверный характер. Иоганн очень гордился тем, что ему удалось решить задачу о цепной кривой, и впоследствии с удовольствием вспоминал этот эпизод: «Усилия моего брата оказались тщетными; мне же повезло больше, поскольку у меня хватило способностей (я говорю это без хвастовства — с какой стати мне скрывать правду?), чтобы решить эту задачу»[112]. А еще он прибавил: «Надо признать, это стоило мне поисков, которые отняли всю ночь…» Всего одна ночь на решение задачи, с которой его брат не смог справиться за год? Вот это да! Со своими сыновьями Иоганн соперничал не меньше, чем с братом. Когда Французская академия наук присудила Иоганну премию вместе с его средним сыном Даниилом, он так болезненно воспринял это, что запретил сыну появляться в фамильном доме.

Как оказалось, у кривой, сущность которой так страстно стремился определить Якоб Бернулли, есть тайный ингредиент — e, число, открытое Якобом в другом контексте.

В современной системе обозначений уравнение цепной кривой выглядит так:

где a — это константа, от которой зависит масштаб кривой. Как показано на рисунке ниже, чем больше значение a, тем дальше друг от друга находятся концы кривой.

Графики цепной линиис разными значениями a

Если в уравнении цепной линии a = 1, то кривая имеет следующий вид:

Посмотрите внимательно на это уравнение: его член e^x отображает чистый экспоненциальный рост, а член e^—x — чистый экспоненциальный спад. Уравнение суммирует эти два члена и делит полученный результат на два, а это хорошо всем знакомая арифметическая операция — именно так мы должны сделать, чтобы найти среднее арифметическое этих двух значений. Другими словами, цепная линия — это среднее кривых экспоненциального роста и экспоненциального спада, как показано на рисунке ниже. Каждая точка такой U-образной кривой находится ровно посредине между двумя экспоненциальными кривыми.

Каждый раз, глядя на окружность, мы видим число π — отношение длины окружности к диаметру. Каждый раз, смотря на висящую цепь, свободно провисшую паутину или прогиб пустой бельевой веревки, мы видим число e.

Цепная линия — это среднее кривых экспоненциального роста и спада

В XVII столетии английский физик Роберт Гук открыл одно удивительное механическое свойство цепной линии: в перевернутом виде она представляет собой самую устойчивую форму для отдельно стоящих арок. Провисающая цепь находится в положении, в котором ее внутренние силы растягивают ее вдоль линии кривой. В перевернутом виде все эти растягивающие силы превращаются в силы сжатия, делая цепную линию идеальной аркой, в которой все силы сжатия тоже действуют вдоль линии кривой. В арке, имеющей форму цепной линии, нет изгибающих сил: она поддерживает себя собственным весом, не нуждаясь ни в каких скобах или опорах. Такая арка будет очень устойчивой при минимальном количестве кирпичной кладки. Для того чтобы арка стояла прочно, кирпичи даже не нужно скреплять цементным раствором, поскольку они прижимают друг друга по всей ее высоте. Гук был весьма доволен своим открытием, заявив, что «еще ни один зодчий не пытался сделать нечто подобное». Однако вскоре после этого инженеры начали использовать цепные линии в работе. До наступления компьютерной эры самый быстрый способ создать их сводился к тому, чтобы повесить цепь, начертить кривую, построить модель из жесткого материала и поставить ее в перевернутом положении.

Цепная линия — это своего рода опора природы, идеальный способ стоять на двух ногах. Арка в форме перевернутой цепной линии является отличительной чертой творчества Антонио Гауди, каталонского архитектора, построившего ряд самых замечательных зданий XX века, в частности храм Святого семейства в Барселоне[113]. Гауди привлекала не только эстетическая красота цепной линии, но и ее математические свойства. Благодаря тому что он использовал цепные линии в своей практике, строительная механика стала главным элементом проектирования зданий.