Красота в квадрате

Окружность — это замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра. Привяжите нить к карандашу и воткнутой в бумагу булавке, натяните нить — и сможете нарисовать окружность. А теперь сделайте из нити петлю и зафиксируйте ее на двух булавках, как показано на рисунке ниже. Путь, который пройдет карандаш, туго натягивающий нить, — это эллипс. Все окружности имеют одинаковую форму, а это значит, что при их уменьшении или увеличичении полученная в итоге окружность будет идентична любой другой окружности. Эллипсы, напротив, бывают разной формы, зависящей от положения булавок, или фокусов. Чем ближе фокусы друг к другу, тем больше эллипс напоминает окружность. Когда фокусы совпадают, эллипс превращается в окружность. На самом деле в математике окружность считается частным случаем эллипса с совпадающими фокусами.

Как нарисовать эллипс

При взгляде на окружность под углом мы видим эллипс. Колеса, монеты, часы, обручи, кольца и диски всегда выглядят как эллипсы, если только они не находятся параллельно лицу, что бывает нечасто. Кроме того, для любого эллипса есть такой угол зрения, под которым он похож на окружность. (Отодвиньте эту книгу в сторону и поверните ее от себя, чтобы увидеть любой из эллипсов на этих страницах как окружность.)

Эллипс обладает одним геометрическим свойством, представляющим исторический интерес для любителей игр в закрытых помещениях. Если стол для игры в американский бильярд сконструирован в виде эллипса, то шар, посланный из одного фокуса, всегда отскакивает от борта и направляется ко второму фокусу, независимо от того, в каком направлении сделан удар по шару. Эта интересная особенность обусловлена следующим свойством эллипса: прямая линия, проведенная от одного фокуса к точке на эллипсе, образует с касательной такой же угол, что и линия, проведенная из этой точки к другому фокусу, как показано на рисунке слева. Когда вы наносите удар по шару, отбивая его на край стола, угол движения шара в момент его приближения к борту равен углу в тот момент, когда шар отскакивает от борта, — это известно любому, кто когда-либо натирал мелом конец кия [1]. Следовательно, если ударить по шару в одной точке фокуса, он обязательно отскочит в направлении другого фокуса.

Линии, проведенные от точки на эллипсе к двум его фокусам, образуют с касательной одинаковые углы, что обеспечивает бильярдистам три способа загнать шар в лузу непрямым ударом

В начале 1960-х годов ученик средней школы из Коннектикута Арт Фриго-младший сделал эллиптический стол для игры в американский бильярд, после того как узнал о конических сечениях в школьном математическом кружке. На столе Арта была черная точка на месте одного фокуса и луза — на месте другого; больше луз у этого стола не было. Если на столе находился только один шар, как показано на рисунке справа, существовало три способа загнать его в лузу, нацеливаясь не на саму лузу, а на черную точку. В таком случае, если сделать удар по шару в направлении черной точки, шар пройдет через нее, ударится о борт и попадет в лузу; если сделать удар по шару в направлении, противоположном направлению на черную точку, шар также отскочит от борта и попадет в лузу; если сделать удар по шару в направлении, противоположном лузе, то шар отскочит от борта один раз, пройдет через черную точку, ударится о борт еще раз, отскочит и снова попадет в лузу. Этот стол был настоящей машиной по забиванию шаров в лузу! Арт предложил начинать игру, которую он назвал «эллиптипул», с одного белого и шести цветных шаров на столе. Оригинальная форма стола открывала уникальные возможности для создания новых схем игры.

Арт сделал прототип своего стола и взял его с собой, когда поступил в Колледж Союза в городе Скенектади. В студенческом клубе стол пользовался такой популярностью, что о нем даже рассказывали в теленовостях. Впоследствии Арт запатентовал стол, и одна из компаний по производству игрушек предложила парню сделку. «У них были заказы на 80 000 столов. Мне тогда исполнился 21 год, и я подумал: “Я стану миллионером!”» — вспоминал он. Компания наняла Пола Ньюмана, который как раз снялся в главной роли в драме о бильярде The Hustler («Мошенник»), для съемок в рекламе стола. Однако возникли непредвиденные трудности. В результате понадобился почти год, чтобы столы поступили в продажу, но к тому времени дерево, из которого они были сделаны, деформировалось. После этого была разработана новая версия более прочного стола с монетоприемником, и такие столы установили в сотнях баров крупных городов. Но и это не помогло.