Курс теоретической астрофизики

где E_k и E_i — энергия начального и конечного состояния соответственно. Под действием излучения частоты _ik может произойти обратный переход, в результате которого фотон поглощается. Излучение частоты _ik может также вызвать переход атома из k-го состояния в i-е, связанный с излучением фотона. Это — процесс вынужденного излучения или отрицательного поглощения.

Вероятности указанных процессов характеризуются некоторыми коэффициентами, введёнными Эйнштейном. Пусть n_k — число атомов в k-м состоянии в 1 см^3. Очевидно, что число спонтанных переходов из k-го состояния в i-е, происходящих в 1 см^3 за время dt, пропорционально числу n_k и времени dt, т.е. равно n_kA_kidt. Величина A_ki называется эйнштейновским коэффициентом спонтанного перехода. Число переходов из i-го состояния в k-е, связанных с поглощением фотонов, в 1 см^3 за время dt равно n_iB_ikikdt где n_i — число атомов в i-м состоянии в 1 см^3 и _ik — плотность излучения частоты _ik. Величина B_ik представляет собой эйнштейновский коэффициент поглощения. Число переходов из k-го состояния в i-е, вызванных излучением, в 1 см^3 за время dt может быть записано в виде

n

_k

B

_ki

_ik

dt

,

где B_ki — эйнштейновский коэффициент отрицательного поглощения.

Эйнштейновские коэффициенты переходов не являются независимыми, а связаны друг с другом двумя соотношениями. Для вывода этих соотношений рассмотрим состояние термодинамического равновесия. В этом случае имеет место детальное равновесие, при котором любой процесс компенсируется обратным процессом. В частности, число переходов из k-го состояния в i-е равно числу переходов из i-го состояния в k-е т.е.

n

_k

A

_ki

+

n

_k

B

_ki

_ik

=

n

_i

B

_ik

_ik

.

(8.2)

С другой стороны, при термодинамическом равновесии распределение атомов по состояниям даётся формулой Больцмана

n_k

n_i

=

g_k

g_i

exp

-

h_ik

kT

,

(8.3)

где g_i и g_k — статистические веса состояний. Из (8.2) при помощи (8.3) получаем

_ik

=

A_ki

B_ki

x

g_i

g_k

B_ik

B_ki

exp

h_ik

kT

-

1

^1

.

(8.4)

Сравнивая (8.4) с формулой Планка (4.4), также имеющей место при термодинамическом равновесии, находим

A

_ki

=

8h_ik^3

c^3

B

_ki

,

B

_ki

=

g_i

g_k

B

_ik

.

(8.5)

Таким образом, если известен один из коэффициентов Эйнштейна, то два других определяются при помощи соотношений (8.5). Заметим, что хотя эти соотношения и были получены при рассмотрении термодинамического равновесия, они справедливы всегда, так как эйнштейновские коэффициенты переходов характеризуют свойства атома и фотона и не зависят от того, как распределены атомы по состояниям и фотоны по частотам.

Следует подчеркнуть большое различие между спонтанным и вынужденным излучением. При спонтанных переходах фотоны испускаются во все стороны. При вынужденных переходах фотоны испускаются в том же направлении, в каком летят вызвавшие эти переходы фотоны. Поэтому интенсивность падающего на атомы пучка излучения убывает вследствие поглощения, но возрастает вследствие вынужденных переходов. Этим объясняется, почему вынужденное излучение называют также отрицательным поглощением.

Из сказанного следует, что полное количество фотонов, поглощаемых в рассматриваемой линии в 1 см^3 за 1 с, равно

n

_i

B

_ik

_ik

-

n

_k

B

_ki

_ik

=

n

_i

B

_ik

_ik

1

-

n_kB_ki

n_iB_ik

.

На основании второго из соотношений (8.5) это выражение можно переписать в виде

n

_i

B

_ik

_ik

1

-

g_in_k

g_kn_i

.

Таким образом, для учёта отрицательного поглощения надо количество фотонов, претерпевших обычное поглощение, умножить на величину

1

-

g_in_k

g_kn_i

.

Если распределение атомов по уровням даётся формулой Больцмана (в частности, при термодинамическом равновесии), то вместо последнего выражения имеем

n

_i

B

_ik

_ik

1

-

exp

-

h_ik

kT

.

Следовательно, в данном случае множитель, учитывающий отрицательное поглощение, равен

1

-

exp

-

h_ik

kT

.

Этим результатом мы уже пользовались ранее при рассмотрении поглощения в непрерывном спектре (§ 5).

Знание эйнштейновских коэффициентов спонтанных переходов даёт возможность определить среднюю продолжительность жизни атома в возбуждённых состояниях. Пусть n_k(0) — число атомов в k-м состоянии в момент времени t=0. Убывание вследствие спонтанных переходов на все лежащие ниже уровни происходит по закону

dn

_k

=-

n

_k

k-1

i=1

A

_ki

dt

,

(8.6)

или после интегрирования,

n

_k

(t)

=

n

_k

(0)

e

^-_kt

,

(8.7)

где обозначено

_k

=

k-1

i=1

A

_ki

.

(8.8)

Отсюда для средней продолжительности жизни атома в k-м состоянии получаем

t

_k

=

0

t

e

^-_kt

_k

dt

=

1

_k

.

(8.9)

Величины A_ki для разрешённых переходов — порядка 10 с^1. Поэтому средняя продолжительность жизни атома в возбуждённом состоянии оказывается порядка 10 с. Исключение составляют метастабильные состояния, из которых все переходы на нижележащие уровни запрещены. Для запрещённых переходов величины A_ki гораздо меньше, чем для разрешённых переходов. Поэтому средняя продолжительность жизни атома в метастабильном состоянии очень велика (иногда доходит до нескольких часов).