Курс теоретической астрофизики

Теоретическое определение яркостей туманностей встречается с большими трудностями. Одна из них вызвана весьма сложными геометрическими формами туманностей. Другая трудность обусловлена тем, что каждый элементарный объём туманности рассеивает излучение, приходящее не только от звезды, но и от других частей туманности. Иными словами, в туманностях происходит многократное рассеяние света.

Однако для решения задачи об определении оптических свойств пылевых частиц нам нет необходимости рассматривать сложные формы туманностей, а достаточно ограничиться простыми. Мы рассмотрим сейчас однородную сферическую туманность с находящейся в её центре звездой. По-видимому, некоторые из наблюдаемых туманностей можно считать сферическими, так как их изофоты близки к окружностям.

Предположим, что звезда светимости 𝐿 находится в центре сферической туманности радиуса 𝑟₀. Оптические свойства вещества туманности будем характеризовать объёмным коэффициентом поглощения α, вероятностью выживания кванта при элементарном акте рассеяния λ (эту величину можно также назвать альбедо частицы) и индикатрисой рассеяния 𝑥(γ), где γ — угол между направлением излучения, падающего на данный объём, и направлением излучения, рассеянного этим объёмом. Подразумевается, что величины α, λ и 𝑥(γ) зависят от частоты.

Рассмотрим процесс многократного рассеяния света в туманности. Искомую интенсивность диффузного излучения обозначим через 𝐼. Она зависит как от расстояния 𝑟 от звезды, таки от угла θ между направлением излучения и радиусом-вектором. Уравнение переноса излучения, служащее для определения величины 𝐼, в случае сферической симметрии имеет вид

cos θ

∂𝐼

∂𝑟

-

sin θ

𝑟

∂𝐼

∂θ

=-

α𝐼

+

ε

,

(32.25)

где ε — объёмный коэффициент излучения. Вводя обозначения τ=α𝑟 и ε=α𝑆, вместо уравнения (32.25) получаем

cos θ

∂𝐼(τ,θ)

∂τ

-

sin θ

τ

∂𝐼(τ,θ)

∂θ

=-

𝐼(τ,θ)

+

𝑆(τ,θ)

.

(32.26)

Величина 𝑆 обусловлена рассеянием света, приходящим в данный объём как от звезды, так и от туманности. Она может быть представлена в виде

𝑆

=

λ

∫

𝐼𝑥(γ)

𝑑ω

4π

+

λ𝑥(θ)𝐿

16π²𝑟²

𝑒⁻

^τ

,

(32.27)

где интегрирование производится по всем направлениям. Считая, что направление излучения в данном месте характеризуется полярным углом θ и азимутом φ, мы получаем

cos

γ

=

cos

θ

cos

θ'

+

sin

θ

sin

θ'

cos(φ-φ')

(32.28)

и 𝑑ω=sin θ' 𝑑θ' 𝑑φ'. Обозначая

1

2π

2π

∫

0

𝑥(γ)

𝑑φ

=

𝑝(θ,θ')

(32.29)

и

𝐿α²

16π²

=

𝐴

,

(32.30)

вместо уравнения (32.27) находим

𝑆(τ,θ)

=

λ

2

π

∫

0

𝐼(τ,θ')

𝑝(τ,θ')

sin

θ'

+

λ𝑥(θ)

𝐴

τ²

𝑒⁻

^τ

.

(32.31)

Таким образом, для определения искомых функций 𝑆(τ,θ) и 𝐼(τ,θ) мы имеем уравнения (32.26) и (32.31). К ним надо ещё добавить граничное условие, выражающее собой тот факт, что нет излучения, падающего на туманность извне.

Из уравнений (32.26) и (32.31) мы можем получить интегральное уравнение, определяющее функцию 𝑆(τ,θ). Для этого надо найти величину 𝐼(τ,θ) из уравнения (32.26) и подставить её в уравнение (32.31).

В случае сферической индикатрисы рассеяния, т.е. при 𝑥(γ)=1, величина 𝑆 зависит только от τ. В данном случае упомянутое интегральное уравнение получается в виде

τ𝑆(τ)

=

λ

2

τ₀

∫

0

⎡

⎣

𝐸₁|τ-τ'|

-

𝐸₁|τ+τ'|

⎤

⎦

×

×

𝑆(τ')τ'

𝑑τ'

+

λ𝐴

τ

𝑒⁻

^τ

,

(32.32)

где τ₀=α𝑟₀ — оптический радиус туманности.

При τ₀=∞ легко найти точное решение уравнения (32.32). Вводя функцию

𝑈(τ)

=

∞

∫

τ

𝑆(τ)τ

𝑑τ

,

(32.33)

мы для её решения получаем уравнение

𝑈(τ)

=

λ

2

τ₀

∫

0

⎡

⎣

𝐸₁|τ-τ'|

-

𝐸₁|τ+τ'|

⎤

⎦

×

×

𝑈(τ')τ'

𝑑τ'

+

λ𝐴𝐸₁τ

.

(32.34)

Обозначая через Γ(τ,τ') резольвенту уравнения (32.34) и полагая Γ(τ,0)=Φ(τ), мы видим, что 𝑈(τ)=𝐴Φ(τ), а значит,

𝑆(τ)

=-

𝐴

τ

Φ'(τ)

.

(32.35)

Что же касается функции Φ(τ), то она была определена ранее формулой (27.21). Пользуясь этой формулой, находим

𝑆(τ)

=

𝐴

⎧

⎨

⎩

4λ

∞

∫

1

𝑥²𝑒

^-𝑥τ

𝑑𝑥

+

τ

(λπ)²

+

⎛

⎜

⎝

2𝑥

+

λ

ln

𝑥-1

⎞

⎟

⎠

²

𝑥+1

+

2𝑘²(1-𝑘²)

𝑒

^-𝑘τ

⎫

⎬

⎭

,

λ+𝑘²-1

(32.36)

где величина 𝑘 связана с λ уравнением

λ

2𝑘

ln

1+𝑘

1-𝑘

=

1

.

Функция 𝑆(τ) включает в себя в виде слагаемого величину

𝑆₁(τ)

=

λ𝐴

τ²

𝑒

^-τ

(32.37)

представляющую собой функцию 𝑆(τ), обусловленную рассеянием первого порядка. В табл. 50 приведены значения отношения 𝑆(τ)/𝑆₁(τ), вычисленные при помощи формул (32.36) и (32.37) для разных значений альбедо частицы λ.

Таблица 50

Значения величины 𝑆(τ)/𝑆₁(τ)

τ

λ

0,3

0,5

0,7

0,9

1,0

0

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

0,1

1,07

1,12

1,17

1,24

1,29

0,2

1,12

1,23

1,35

1,51

1,65

0,4

1,22

1,43

1,70

2,14

2,66

0,6

1,31

1,62

2,08

2,90

4,11

0,8

1,40

1,82

2,49

3,81

6,13

1,0

1,47

2,00

2,92

4,89

8,92

1,5

1,65

2,47

4,11

8,50

20,90

2,0

1,80

2,94

5,50

13,80

45,00

2,5

1,95

3,42

7,11

21,40

92,00

3,0

2,08

3,91

8,98

32,10

181,00

Таблица ясно показывает, какова роль рассеяний высших порядков при разных λ. При каждом λ вокруг звезды существует область, в которой рассеяния высших порядков играют меньшую роль, чем однократное рассеяние, но вне этой области положение обратное. Размеры упомянутой области тем больше, чем меньше λ. Однако надо иметь в виду, что в реальных туманностях величина τ₀ конечная, а индикатриса рассеяния отличается от сферической. Поэтому результаты, приведённые в табл. 50, по отношению к туманностям носят лишь иллюстративный характер.