Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

^6a Иногда удобно, хотя и не обязательно, считать поля и взаимно сопряженными. Более подробно вопрос о духах обсуждается в § 41, 42.

Рис. 3. Петля духов.

Продолжим рассмотрение свойства унитарности S-матрицы, введя в лагранжиан член, описывающий вклад духов. Так как духи взаимодействуют лишь с глюонами, они изменяют только диаграмму рис. 1, а, которая приводила к нарушению унитарности. Выражение для тензора приобретает возникающую за счет духов добавку, для которой после простых вычислений (рис. 3) получаем следующий результат:

^(Ghost)aa'

=

_aa'

C

_A

ig

²

d

^D

k

·

k

(k+q)

(2)

^D

k

²

(k+q)

²

=

_aa'

g

²

C

^A

{[

1

N

+

1

 

-

¹

dx·x(1-x)log(-x(1-x)q

²

)

]

q

²

g

32

²

6

6

₀

-

[

-

1

N

+2

¹

dx·x(1-x)log(-x(1-x)q

²

)

]

q

q

}

.

3

₀

Суммируя вклады глюонов и духов и используя формулы интегрирования, приведенные в приложении Б, находим для поляризационного оператора окончательное выражение

=

_aa' 

g

²

C

_A

(-g

q

²

+q

q

)

{

-

10

N

-

62

 +

10

log(q

²

)

}

,

^(all)aa'

32

²

3

9

3

(5.9)

которое, очевидно, удовлетворяет условию поперечности

q

=

q

= 0.

(all)aa'

(all)aa'

(5.10)

Проверку унитарности мы оставляем читателю в качестве простого упражнения. Далее в тексте индекс all мы опускаем и рассматриваем лагранжиан КХД, записанный в ковариантной (лоренцевой) калибровке, т.е.

L

=

{

i

q

D

q-m

 

q

q

}

 -

1

(DxB)

₂

 -

(B)

^q

4

 

2

^q

^QCD

 

+

(

 

 

)(

 

- gf

 

B

)

 

,

^a

^ab

 

^abc

^c

^b

=

1-1/

(5.11)

Начиная со следующего раздела, в обозначении лагранжиана L индекс КХД мы также будем опускать.

2. Физические калибровки

Появление духов вызвано тем, что оператор проекции на физические состояния P не коммутирует с лагранжианом КХД, записанным в лоренцевой калибровке. Может оказаться, что такой проблемы не возникнет, если выбрать калибровку, в которой все глюонные состояния соответствуют физическим, так что все гильбертово пространство полей является физическим. Известно, что уже на уровне квантовой электродинамики невозможно одновременно удовлетворить условиям положительной энергии, локальности и явной лоренц-инвариантности. Поэтому возникает необходимость использования нековариантной калибровки. Одной из нековариантных калибровок является кулоновская калибровка⁸⁾, однако она тоже не свободна от духов. Необходимость введения духов исчезает, если потребовать выполнения соотношений

⁸ Более того, кулоновская калибровка вносит дополнительные усложнения. Формулировка КХД в кулоновской калибровке изложена в статье [69].

n·B=0,

n

²

=0.

(5.12)

Случай пространственноподобного вектора n(n²0) соответствует аксиальным калибровкам⁹⁾, а случай светоподобного вектора n(n²=0) — светоподобной калибровке¹⁰⁾. Так как вектор n является по отношению к задаче внешним его введение нарушает явную лоренц-инвариантность промежуточных вычислений, хотя, конечно, калибровочная инвариантность обеспечивает независимость окончательных результатов для физических величин от вектора n, а следовательно, и их лоренц-инвариантность.

⁹ Аксиальные калибровки обсуждаются в работе [185]. См. также цитируемую там литературу.

¹⁰ См., например, работу [247] и цитируемую там литературу.

Начнем с рассмотрения аксиальной калибровки. Лагранжиан, записанный в аксиальной калибровке, имеет вид

L

 

{

i

q

D

q - m

 

q

q

}

 -

1

(DxB)

₂

-

1

(n·B)

₂

.

ⁿ

^q

4

 

2

 

 

^q

(5.13)

В дальнейшем по параметру подразумевается предельный переход ->0, так что условие (5.12) представляет собой операторное соотношение, выполненное на всем гильбертовом пространстве. Пропагатор, соответствующий лагранжиану (5.13), записывается в виде

i

-g

-k

k

(n

²

+k

²

)/(k·n)

²

+ (n

k

+n

k

)(n·k)

^-1

;

k

²

+i0

(5.14)

в пределе ->0 он принимает вид

i

-g

-n

²

(k

k

/(k·k)

²

) + (n

k

+n

k

)/(k·n)

.

k

²

+i0

(5.15)

Обобщение теории на аксиальные калибровки нетривиально; детальное изложение этой процедуры заинтересованный читатель найдет в работе [185]. Все вычисления в аксиальных калибровках мы будем проводить только на однопетлевом уровне, на котором трудностей не возникает.

При рассмотрении светоподобных калибровок удобно ввести так называемые "нулевые" координаты, определяемые для любого вектора v в виде

v

^±

=

1

2

(v

⁰

±v

³

),

v

v¹

v²

; v

^a

=v

^±

или v

ⁱ

(i=1,2).

Метрика определяется следующим образом:

g

_+-

=g

_-+

=1,

g

₊₊

=g

_--

=0,

g

_ij

=-

_ij

,

i,j=1,2.

Отметим, что выполняются соотношения

v·w=v

₊

w

_-

+v

_-

w

₊

-

vw

=v

_a

w

^a

.

Для светоподобного вектора u "нулевые" координаты можно выбрать в виде u=0, u_-=0, u₊=1. Тогда дополнительное условие u·B=0 можно записать в виде

B

_a

(x)=0.

^-

(5.16)

Пропагатор в светоподобной калибровке определяется соотношением

i

P

(k,u)

 = i

-g

+(u

+u

k

)/(u·k)

,

k

²

+i0

k

²

+i0

(5.17)

которое представляет собой частный случай формулы (5.15) с вектором n=u, u²=0. В нулевых координатах выражение (5.17) можно переписать в следующем виде:

P

^a

=

-g

^a

+(

^a

_-

k

+

_-

k

^a

)/k

_-

.

k

²

k

_a

k

^a

+i0

В качестве примера использования светоподобной калибровки рассмотрим глюонный пропагатор во втором порядке теории возмущений. В названной калибровке он имеет вид

l,ab

=

-ig

²

C

_A

_ab

d

^D

k

·

1

2

(2)

^D

k

^2(k+q)2

x

[

-(2k+q)

g

+(k-q)

g

+

(2q+k)

g

]

P

(k,u)

x

[

-(2k+q)

g

+(k-q)

g

+

(2q+k)

g

]

P

(k+q,u) .