Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Положим Q^2=-q^2. В случае, когда Q^2, >>m^2_f, справедливо приближенное равенство

¹

 

₀

dx x(1-x) log

m

₂

^f

-x(1-x)Q^2

m

₂

^f +x(1-x)^2

1

6

log

Q^2

^2

+O

m

₂

^f

^2

,

m

₂

^f

Q^2

;

для случая m^2_f>>^2,Q^2 имеем

¹

 

₀

dx x(1-x)

log

m

₂

^f

-x(1-x)Q^2

m

₂

^f +x(1-x)^2

O

^2

m

₂

^f

,

Q^2

m

₂

^f

;

§ 29. Массовые члены и свойства инвариантности; киральная инвариантность

В § 28 мы видели, что при энергиях Q>>,, когда теория возмущений по бегущей константе связи может иметь смысл, можно пренебречь существованием кварков с массами m>>Q. В этом параграфемы рассмотрим противоположный случай, когда массы кварков удовлетворяют условию m. Поскольку единственным размерным параметром в квантовой хромодинамике, как мы полагаем, является параметр обрезания ^42б), можно ожидать, что в некотором приближении допустимо пренебречь массами этих легких кварков, которые могут привести к поправкам лишь порядка m^2/^2 или m^2/Q^2.

^42б) Неясно, конечно, какой из параметров: или параметр ₀ , определяемый формулой _s(^2₀)1, является основным. Смысл неравенства m также неоднозначен. Очевидно, что ₀ , поэтому в действительности, помимо эвристических соображений, нет никаких указаний, которые помогли бы решить, какие кварки считать легкими в промежуточных случаях. Почти нет сомнений в том, что кварки u и d следует отнести к типу "легких"; в отношении кварка s ситуация менее ясна.

Вернемся к вопросам, обсуждавшимся в § 10. Рассмотрим лагранжиан КХД

L

=

-

_n

^l=1

m

_l

q

_l

q

_l

+i

_n

^l=1

q

_l

D

q

_l

-

1

4

(DxB)^2

+

члены, фиксирующие калибровку,

+

духи.

(29.1)

Суммирование проводится только по легким кваркам, массы которых удовлетворяют неравенству m^2^2. Возможное существование тяжелых кварков никак не сказывается на дальнейших рассуждениях. Рассмотрим совокупность преобразований W⁺ в группе U_L(n)xU_R(n) (произведение левых и правых преобразований)

1±₅

2

q

_i

->

 

^l'

W

_±

^ll'

1±₅

2

q

_l'

,

(29.2)

где W^±— унитарные матрицы. Очевидно, что единственным членом лагранжиана, неинвариантным относительно преобразований (29.2), является массовый член

M=

_n

^l=1

m

_l

q

_l

q

_l

.

(29.3)

Записанный в таком виде, массовый член инвариантен относительно совокупности преобразований [U(1)]ⁿ:

q

_i

->e

^i_i

q

_l

(29.4)

но он не инвариантен, если допустить существование в массовой матрице недиагональных членов. Чтобы решить вопрос о том, какими общими инвариантными свойствами обладает массовый член общего вида, докажем две теоремы.

Теорема 1. Любую массовую матрицу общею вида можно записать в виде (29.3), проведя подходящее переопределение кварковых полей. Кроме того, можно допустить, что m>=0. Поэтому выражение (29.3) фактически является массовым членом самого общего вида.

Доказательство. Пусть левые и правые кварковые поля определяются формулами

q

_L

=

1

2

(1-

₅

)q , q

_R

=

1

2

(1+

₅

)q .

Наиболее общий массовый член, совместимый с условием эрмитовости лагранжиана, имеет вид

M'=

 

^ll'

q

_iL

M

_ll'

q

_l'R

+

q

_iR

M*

_ll'

q

_lL

.

(29.5)

Пусть матрица M имеет компоненты M_ll' . На основании хорошо известного полярного разбиения матриц можно написать

M=mU

,

где матрица m положительно определена, поэтому все ее собственные значения больше нуля, а матрица U унитарна. Тогда выражение (29.5) принимает вид

M'=

q

_iL

m

_ll

q'

_l'R

+

q

'

_iR

M*

_ll'

q

_l'L

, q'

_lR

=

 

^l'

U

_ll'

q

_l'R

,

(29.6)

где использовано свойство самосопряженности матрицы m. Переопределим поля по формуле q'=q'_R+q_L ; тогда выражение (29.6) в терминах полей q' примет вид

M'=

q

'

_l

m

_ll'

q'

_r

,

где использовано равенство q_Rq_R=q_Lq_L=0. Теперь для того, чтобы получить формулу (29.3), достаточно преобразовать поля q', используя для этого матрицу V, диагонализующую матрицу m. Положительность значений величин m_l следует из того, что они являются собственными значениями матрицы m. (Отметим, что член qDq в лагранжиане инвариантен относительно преобразований такого вида.)

Теорема 2. Если все массы m_l имеют различные ненулевые зиачения, то единственными преобразованиями, оставляющими массовых член инвариантным, являются преобразования [U(1)]ⁿ вида (29.4).

Предположим, что W₊=W_-=W; проверку этого равенства оставляем читателю в качестве упражнения. Условие инвариантности массовой матрицы приводит к соотношению

W⁺mW=m

, т.е

mW=Wm

.

(29.7)