Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Мы видим, что выражение (45.5) в точности определяет кратность, с которой поверхность четырехмерной сферы обернута вокруг группы SU(2). Таким образом, как это очевидно из формулы (44.13) и свойств самодуальных (анти-дуальных) полевых конфигураций, инстантонное (антиинстантонное) решение имеет топологическое квантовое число Q_K=±1. Нетрудно построить решение, отвечающее любому значению топологического заряда . Предположим, что параметр положителен. Рассмотрим разреженный газ инстантонов, описываемый полем

B

_a

(x)=

^k=1

B

_a

(x-y

_k

).

(45.6а)

Пусть поле B имеет величину (44.10), и пусть выполняются условия |_j-_k|->. При вычислении тензора напряженностей G или его квадрата GG перекрытие между двумя различными членами в формуле (45.6) при |_j-_k|->, очевидно, стремится к нулю; следовательно, в этом пределе справедливо равенство

g^2

32^2

d

⁴

xG

G

=.

(45.6б)

Таким образом, мы успешно справились с задачей поиска решений из каждого гомотопического класса. Более интересным оказывается тот факт, что многоинстантонные полевые конфигурации дуальны, а следовательно, соответствующий тензор энергии-импульса обращается в нуль: =0. Это означает, что в квантовой хромодинамике (по крайней мере в ее евклидовой версии) нет единственного вакуума, а есть бесконечное число вакуумных полевых конфигураций |, =…,-1,0,1,2,…, которые топологически эквивалентны друг другу. Эта ситуация похожа на случай, представленный на рис. 30, б.

Рис. 31. Области интегрирования в выражениях для топологического заряда инстантонов.

Чтобы исследовать это явление более детально, введем в рассмотрение другую гиперповерхность, а именно возьмем цилиндр с осью вдоль оси времени, как показано на рис. 31, а. Выберем кулоноподобную калибровку, так что выполняется асимптотическое условие

B

₄

 

=

^x->

0.

Тогда остаются интегралы только вдоль оснований цилиндров:

=

 

 

_t''

-

 

 

_t'

dx

₁

dx

₂

dx

₃

K

⁴

.

Поскольку поле на бесконечности обращается в нуль, пространственно бесконечно удаленные точки, лежащие на основаниях цилиндра, можно отождествить, так что возникают интегралы по большим трехмерным сферам, одна из которых расположена при t=-, а другая при t=+. Калибровку выберем таким образом, чтобы выполнялось условие

 

 

_t'->-

dx

₁

dx

₂

dx

₂

K

⁴

=n(-)=целое число.

Доказательство существования калибровки, непрерывным образом связанной с тождественным преобразованием и удовлетворяющей этому условию, можно найти в лекциях [227]. Принимая во внимание формулу (45.66), получаем равенство

 

 

_t''

dx

₁

dx

₂

dx

₃

K

⁴

=n(t''), n(+)-n(-)=.

(45.7)

Многоинстаитонные полевые конфигурации B связывают вакуумные состояния на - и +, топологические квантовые числа которых различаются на единиц. Поэтому в квантовом случае в соответствии с обсуждением в § 40 можно ожидать, что эти два вакуумных состояния могут быть связаны туннельным переходом, амплитуда которого в ведущем порядке описывается формулой

n(+)|n(-)=(constatnt) exp(-

A

).

Как обсуждалось выше, минимум действия достигается на само дуальных (антидуальных) решениях, т.е. для инстантонов или антиинстантонов (если |n(+)-n(-)|=1). Таким образом, в ведущем порядке амплитуда перехода имеет вид

n(+)|n(-)(constatnt) exp

-8^2||

g^2

.

(45.8)

Поправки высших порядков можно вычислить [252], разлагая в ряд поля не вблизи классических траекторий B_cl=0, а вблизи траекторий B_cl=B_cl=B. Они оказываются важными, так как дают константу в формуле (45.8). Действительно,

exp

-8^2||

g^2

1+a

g^2

16^2

=e

^-a/2

exp

-8^2||

g^2

,

но эти члены не меняют качественно результат. Чтобы убедиться в справедливости выражения (45.8), необходимо рассмотреть случай, когда константа связи g мала и член exp(-2/_g) подавляет любую константу.

Обратимся теперь к рассмотрению вакуумных состояний. Определение производящего функционала дано в § 39 и 41. Если в лагранжиане пренебречь членами, описывающими вклад духов и фиксирующими калибровку, то он (в евклидовой формулировке КХД) имеет вид

_+0|0-

=

Z

=

(d

B

) exp

-

d

⁴

x

L

(

B

)

.

(45.9а)

Но теперь необходимо решить, по каким гомотопическим классам проводить интегрирование. Напомним, что левая часть соотношения (45.9а) представляла собой амплитуду 0,t=+|0,t=-; поэтому равенство (45.9а) следует переопределить в виде

n(+)|m(-)=

(d

B

_n-m

) exp

-

d

⁴

x

L

(

B

)

.

(45.9б)

В рамках теории возмущений рассматривается лишь вакуумное состояние |n=0, но очевидно, что благодаря возможности туннелирования все вакуумные состояния |n связаны между собой [61,174,252], так что ни одно из них не является стационарным и не может отвечать истинному вакуумному состоянию. Стационарные состояния, так же как блоховские состояния в теории твердого тела, получаются из суперпозиций

 

ⁿ

e

ⁱⁿ

|n|.

Это выражение инвариантно относительно изменений топологического заряда. В самом деле, пусть _k - оператор, изменяющий топологический заряд на k единиц; тогда

_k

|=

 

ⁿ

e

ⁱⁿ

|n+k=

 

^m

e

^i(m-k)

|m=e

^-ik

|,

откуда следует, что под действием этого оператора вакуумное состояние изменяет только свою фазу. Производящий функционал в терминах -вакуума можно записать в виде

(+)|'(-)=N(-')

 

e

^-i

(d

B

)e