Квантовая магия

Как уже было сказано, в аксиоматике квантовой механики нет таких понятий, как координата и время. Они могут появиться в одном из представлений, когда мы переходим к нему (например, ) от теоретических абстрактных понятий квантовой механики: вектора состояния, линейных операторов и т. д. Но одно из представлений — это далеко не вся квантовая теория. На мой взгляд, об этом неплохо пишет Дирак в «Принципах квантовой механики» в главе III, которая так и называется «Представления».

Он говорит примерно следующее: после того, как введены основные понятия квантовой механики — вектор состояния, линейный оператор и т. д., встает вопрос о выборе наиболее удобного способа «манипулирования» этими теоретическими, абстрактными объектами. Обычно с этими абстрактными величинами бывает удобно сопоставить числа или совокупность чисел и далее работать уже с этой совокупностью чисел.

Такой переход аналогичен введению в геометрии координат, которые позволяют использовать для решения геометрических задач мощные математические методы.

Естественно, что способ, согласно которому абстрактные величины заменяются числами, не является единственным, подобно тому, как в геометрии можно выбрать много различных координатных систем. В квантовой теории каждый такой способ называется представлением, а совокупность чисел, заменяющих абстрактную величину, — представителемэтой абстрактной величины в данном представлении. Таким образом, представитель, например, вектора состояния аналогичен координатам геометрического объекта. Если нужно решить какую-то конкретную квантовую задачу, то можно облегчить работу, выбрав представление так, чтобы представители существенных для данной задачиабстрактных величин имели наиболее простой вид.

Далее Дирак говорит о волновой функции как об одном из представлений вектора состояния, как функции отдельных наблюдаемых. В IV главе (п. 22) он рассуждает о представлении, в котором сделано предположение, что все координаты являются наблюдаемыми и имеют сплошной спектр собственных значений. В этом представлении все координаты (предполагается их ) и составляют полный набор коммутирующих наблюдаемых для данной динамической системы.

При решении каких-то отдельных простых задач такое представление будет оправдано, но для других задач, более сложных, оно может работать плохо, поскольку изначально была введена классичность системы, ее (отделимость) по координатам. Фейнман, например, попытался обойти этот момент, вводя интегралы по путям [64], но он боролся со следствием «кривой» изначально предпосылки, а не с причиной. В моем понимании это тоже полуклассический подход. Если изначально, волевым усилием, «с потолка» вводится (например, по координатам), то этот подход нельзя считать чисто квантовым. Он аналогичен ансамблевой интерпретации, когда одно квантовое суперпозиционное состояние заменяется набором классических состояний. Так же и в этом случае эволюция одного квантового состояния заменяется набором классических эволюций, интегралом по всем возможным классическим траекториям между двумя точками в конфигурационном пространстве. Поскольку координат волновой функции изначально, то, чтобы описать квантовую эволюцию состояния, приходится заменять координаты хотя бы их классической смесью. Иногда это срабатывает, но в таких случаях нужно понимать, что мы делаем и с какой целью. По аналогии с интерпретацией можно, наверное, сказать, что интегралы по путям Фейнмана — это «многокоординатная» интерпретация квантовой механики для волновой функции.

С математической точки зрения на квантовую теорию сейчас все чаще смотрят как на разложение единицы (ортогональное или ) в гильбертовом пространстве состояний самой системыв каком-либо базисе. С использованием POVM ( ) такое разложение возможно не только для чистого состояния (замкнутой системы), но и для открытых систем, взаимодействующих со своим окружением. Базис для разложения вектора состояния может быть выбран любой, в общем случае необязательно даже, чтобы базисные векторы были независимы и ортогональны. Существует бесконечное число различных представлений вектора состояний, и базис из пространственных координат не всегда является лучшим выбором. Выбор базиса зависит от конкретной задачи. Во многих случаях можно ограничиться другими представлениями вектора состояния, например, спиновым представлением, что обычно сейчас и делается при решении многих задач.