Квантовая магия

Более подробное рассмотрение основного разложения матрицы плотности целесообразно начать с самого простого случая двухуровневой системы (кубита). Напомню также, что все матрицы плотности — .

В матричном анализе доказывается утверждение, что всякую матрицу 2 x 2 можно однозначно записать в виде вещественной линейной комбинации единичной матрицы и трех матриц с нулевым следом, так называемых матриц Паули, в частности, любая матрица плотности 2 x 2 представляется в виде:

= 1/2 ( Е +++),

где — единичная матрица, , , — вещественные числа, а и — матрицы Паули [см. (3.12)]. Мы уже пользовались такой формой записи в выражении (3.11).

Этот результат для матриц 2 x 2 является частным случаем хорошо известного в квантовой теории общего утверждения, что любая матрица плотности произвольной размерности может быть записана в виде [98]:

= (1 — ) + ₁, (3.14)

где d= 2 ^N— размерность гильбертова пространства системы, состоящей из Nподсистем; = 1 _d/d— максимально смешанное состояние (нормализованная единичная матрица плотности, след которой равен 1); 1 _d—единичная матрица размерностью d; ₁— произвольная матрица плотности; — вещественный параметр (0 = = 1).

В форме (3.14) часто анализируют состояния [99], когда ₁= | ~n'a |.

= (1 — ) + | ~n'a |.

Выражение (3.14) можно переписать в виде:

= + ( ₁— ). (3.15)

То есть любая матрица плотности может быть представлена в виде суммы матрицы максимально смешанного состояния (с единичным следом) и матрицы с нулевым следом ( ₁— ), напомню, что след у ₁тоже равен единице.

Таким образом, состояние произвольной системы имеет двуединую природу, содержит в своей структуре две качественно различные составляющие: одна часть неизменная, вечная (максимально смешанное состояние), и вторая часть динамическая (если система динамическая, параметр может быть, например, функцией времени).

Рассмотрим более детально, что такое максимально смешанное состояние. Наверное, это будет легче понять на примере кубита. Только для начала мы запишем вектор состояния кубита | ~n = a|0~n + b|1~n в виде нужной матрицы плотности. Этот вектор состояния зависит от четырех вещественных параметров ( aи b— комплексные числа). Число параметров можно уменьшить до двух, воспользовавшись двумя дополнительными условиями, налагаемыми на вектор состояния, — условием нормировки | a| ²+ | b| ²= 1 и одним из постулатов квантовой механики, согласно которому состояния не меняются, если их умножить на фазовый множитель exp(± ). То например, состояния |0~n и exp( ) |0~n тождественны. Это следствие того факта, что модуль комплексной экспоненты равен единице.

Следовательно, необходимы лишь два независимых вещественных параметра, чтобы однозначно задать вектор состояния кубита. Обычно в качестве таких параметров выбирают два угла и , которые однозначно определяют точку на сфере Блоха (см. рис. 1). В этом случае

a= — /2) ( /2)

b= /2) sin( /2),

а вектор состояния записывается в виде:

|~n = exp(— /2) ( /2) |0~n + exp( /2)sin( /2) |1~n. (3.16)

Матрица плотности тогда равна сумме двух матриц ₁и ₂:

. (3.17)

Нам еще пригодится вектор состояния

|~n = ( /2) |0~n+sin( /2) |1~n, (3.18)

и соответствующая ему матрица плотности:

. (3.19)

Можно заметить, что (3.16) получается из (3.18) унитарным преобразованием

,

то есть чистым вращением вектора состояния (3.18), которое характеризуется параметром . Несложно определить, в чем состоит физическое отличие векторов состояния (3.16) и (3.18). Они связаны соотношением | ~n ^rot= U| ~n, которое означает переход между неподвижной и вращающейся системой координат. То есть вектор ( мы записали для внутреннего состояния системы — он описывает то, что происходит с точки зрения самой системы. Система «чувствует», что она переходит из одного состояния в другое, и никаких других изменений для нее не существует. Это вид «изнутри» системы. В этом случае ее вектор состояния характеризуется лишь одним вещественным параметром . Можно предположить, что это собственное внутреннее время системы, то есть параметр, с которым меняется ее внутреннее состояние.