Квантовая магия

Матрица плотности в энергетическом представлении вводится следующим образом. Выделенная нами подсистема на протяжении малого промежутка времени является квазизамкнутой, поскольку ее внутренняя энергия намного больше энергии взаимодействия с другими подсистемами. Поэтому появляется возможность ввести понятие стационарных состояний, которые получаются при полном пренебрежении всеми взаимодействиями данной подсистемы с окружающими частями замкнутой системы. Обозначим через φ_n(q) полный набор ортонормированных волновых функций этих состояний, где q условно обозначает совокупность всех координат подсистемы, а индекс n — совокупность всех квантовых чисел, отличающих различные стационарные состояния с энергией . Предположим, что в данный момент времени подсистема находится в некоем полно описанном состоянии с волновой функцией Ψ. Ее можно разложить по функциям φ_n(q) и с их помощью найти среднее значение любой физической величины. Переход от полного описания подсистемы к неполному, осуществляемому посредством матрицы плотности, можно рассматривать как усреднение по ее различным состояниям. В результате такого усреднения получается двойной (по двум индексам) набор некоторых величин ρ_nm, которые и являются элементами матрицы плотности в энергетическом представлении.

Вероятность нахождения подсистемы в n-м состоянии будет равна соответствующему диагональному элементу ρматрицы плотности. Дальнейшие рассуждения позволяют сделать вывод, что исходное требование статистической независимости подсистем эквивалентно требованию матрицы ρ_nm, или, точнее, по мере уменьшения роли взаимодействий подсистем друг с другом, недиагональные элементы матрицы плотности стремятся к нулю. Задача определения статистического распределения, таким образом, сводится к вычислению вероятностей ρ_n = ρ.

В квантовой статистике доказывается еще одно важное утверждение: статистическое состояние системы зависит только от ее энергии, и вероятности ρ_n могут быть выражены в виде функции только от величины уровня энергии ρ_n = ρ().

Следовательно, квантовая статистика позволяет, в принципе, исходя из одной только энергетической характеристики объекта, вычислять среднее значение любой величины, характеризующей систему, а также вероятности различных значений этих величин.

Одно из основных условий применимости методов квантовой статистики — наличие у макроскопического объекта «почти непрерывного» энергетического спектра. Этому условию удовлетворяют не только тела, описываемые системой взаимодействующих частиц, но и объекты, моделируемые системой квантовых полей. При этом появляется возможность описать не только внутренние свойства макроскопических объектов (иными словами, ограничиться решением предыдущей задачи с частицами в виде локальных полей), но и взаимодействие отдельных тел, поскольку каждое из них будет обладать нелокальными макроскопическими характеристиками, связанными с наличием дальнодействующих полей.

Чтобы сделать очередной шаг, связывающий статистическую физику и квантовую теорию поля, воспользуемся понятием статистического равновесия. Если в замкнутой макроскопической системе среднее значение полной энергии произвольной подсистемы и самой системы в целом имеют минимальное значение, то говорят, что она находится в состоянии статистического равновесия. Это утверждение является следствием того, что замкнутая система при достаточно большом времени наблюдения находится в состоянии, при котором макроскопические физические величины с большой относительной точностью равны своим средним значениям. Если в начальный момент времени система не находилась в состоянии статистического равновесия (например, испытывала внешнее воздействие, после чего вновь стала замкнутой), то в дальнейшем она должна перейти в состояние равновесия. Промежуток времени, в течение которого происходит переход к статистическому равновесию, называется временем релаксации. Под достаточно большим временем наблюдения подразумеваются большие, по сравнению со временем релаксации, времена.