Квантовая магия

Пространственные компоненты из (5.5) можно интерпретировать, если рассмотреть двумерную грань 1-формы объема, положительная нормаль к которой направлена по k. За время Δt эта поверхность «заметает» 3-объем, 1-форма которого равна Σ = L²_┴k Δ. Поместим наблюдателя на эту поверхность. В отличие от общепринятого подхода, когда наблюдатель неподвижно сидит на поверхности и измеряет проекции импульса, пересекающего площадку на направления единичных векторов в своей системе, мы заставим наблюдателя двигаться с некоторой скоростью u поочередно вдоль всех своих координатных осей. За время Δt он сканирует всю площадку и прилегающий объем, отмечая происходящие изменения. Проецируя 4-импульс Δp, пересекающий поверхность, на свою скорость, наблюдатель получает информацию о распределении энергии в различных направлениях. На первый взгляд может показаться, что такой подход лишен смысла, поскольку численное значение энергии, полученное наблюдателем, зависит от его собственной скорости, и результат измерения будет неоднозначным. Однако, как будет показано ниже, существует энергетическая характеристика, не зависящая от скорости наблюдателя и имеющая однозначный физический смысл.

Обозначим компоненты скорости наблюдателя через = (Δxⁱ/Δt). Тогда компоненты можно определить из (5.6):

· Δp = —ΔW = T(, Σ), (5.7)

или в компонентных обозначениях,

—ΔW = (Δxⁱ/Δt) L²_┴kΔt T(, ) = ΔxⁱL²_┴k, (5.8)

. (5.9)

Устремляя интервал времени к нулю и воспользовавшись определением градиента, получим

—Ñ/L²_┴k = . (5.10)

Отметим, что, в отличие от величины энергии, зависящей от собственной скорости наблюдателя, значение градиента энергии Ñуже не зависит от его скорости, поскольку одно и то же смещение координаты наблюдателя Δxⁱ входит как в числитель (в выражение скорости), так и в знаменатель. В этом результате нет ничего удивительного, если вспомнить, что по своему определению градиент является линейным оператором, физический смысл которого не зависит от системы отсчета. При этом не имеет значения, о какой энергии идет речь — либо о полной энергии, распределенной в рассматриваемом элементарном объеме, включающей энергию покоя m₀c², как это принято, например, в релятивистской механике, либо только о кинетической энергии, как принято в классической механике. Можно даже произвольно выбрать уровень отсчета энергии, исходя из каких-то иных соображений — значение градиента энергии как объективно существующей физической характеристики при этом не изменится. Для определенности будем считать, что речь идет о полной энергии, содержащейся в объеме. Можно рассматривать и более сложные ситуации, когда отдельные составляющие энергетической структуры имеют градиент энергии относительно других составляющих (возможно, со своим градиентом), тогда записываются уравнения движения для каждой из них.

Сравнивая выражение (5.10) с обычной трактовкой пространственных компонент тензора энергии-импульса в терминах потока импульса, нетрудно заметить, что справедливо покомпонентное тождество Ñ≡ —Δp_i/Δt, связывающее энергетическое и импульсное представления компонент тензора энергии-импульса.

Еще более простой физический смысл имеет дивергенция от компонент тензора, стоящая в интеграле по объему в выражении (5.5). Устремляя 3-объем к нулю и имея при этом L²_┴k→ ∂S_┴k, получим

, (5.11)

-компоненту градиента энергии, приходящуюся на единицу 3-объема, или -компоненту объемной плотности градиента энергии.Уравнения движения (5.5) теперь приобретают простой физический смысл: они связывают силу, действующую на произвольный выделенный объем, и градиент энергии в этом объеме.

Итак, основной вывод можно сформулировать следующим образом: сила, действующая со стороны произвольного выделенного объема рассматриваемой системы, равна градиенту энергии во всем этом объеме, то есть

F = ÑW. (5.12)