Квантовая случайность

Справка 3. Неравенство Белла. В общем смысле вероятность P (a, b|x, y) возникает из статистической смеси различных возможных ситуаций. К примеру, первая возможная ситуация, традиционно обозначаемая λ1, может произойти с вероятностью ρ (λ1), вторая возможная ситуация λ2 – с вероятностью ρ (λ2) и так далее. Эти вероятности ρ (λ) также могут использоваться для анализа в случаях, когда мы не знаем точно реальную ситуацию. На самом деле нам даже не нужно знать вероятность наступления конкретной ситуации. Достаточно знать, что разные ситуации возникают с разной вероятностью.

Эти ситуации λ могут включать квантово-механическое состояние системы, обычно обозначаемое как ψ. То есть они могут включать всю прошлую жизнь Алисы и Боба или даже состояние всей вселенной, кроме одного – выбор x и y должен быть независим от λ. С другой стороны, λ может быть очень и очень ограничено, подобно выбору стратегий Алисы и Боба в игре Белла. Когда-то λ назвали локальными скрытыми переменными, но лучше рассматривать их как физическое состояние систем (к примеру, ящиков Алисы и Боба), описываемое любой современной или будущей теорией. Итак, неравенства Белла что-то сообщают нам о структуре любой будущей физической теории, совместимой с сегодняшними экспериментами. При этом единственное допущение относительно λ состоит в том, что они не содержат информации о выборе x и y.

Для каждой ситуации λ условная вероятность всегда может быть выражена как

P(a, b|x, y, λ) =P(a|x, y, λ) ·P(b|x, y,a, λ).

Предположение о локальности позволяет утверждать, что для любой λ происходящее в приборе Алисы не зависит от происходящего в приборе Боба, что выражается как P (a|x, y, λ) = P (a|x, λ) и наоборот: P (b|x, y, a, λ) = P (b|y, λ).

В итоге допущение, лежащее в основе всех неравенств Белла, может быть найдено путем усреднения по всем возможным ситуациям λ:

где ρ (λ) означает вероятность наступления ситуации λ.

До сих пор мы считали, что ящики Алисы и Боба содержат предустановленные программы, которые определяют результаты как следствие выбора x и y. (В информатике x и y называются входными данными). Но что будет, если эти программы не полностью определяют результат, но оставляют некоторое место случаю? Представим себе, например, что время от времени прибор Алисы случайно выбирает, исполнять ли ему программу № 1 или программу № 3, или же он время от времени просто выдает случайный результат. Можно ли это помочь им выиграть в игру Белла?