Лаплас. Небесная механика

«Если француз приедет в Лондон, он найдет здесь большое различие в философии, а также во многих других вопросах. В Париже он оставил мир, полный вещества, здесь он находит его пустым. В Париже Вселенная заполнена эфирными вихрями, тогда как тут, в том же пространстве, действуют невидимые силы. В Париже давление Луны на море вызывает отлив и прилив — в Англии же, наоборот, море тяготеет к Луне. У картезианцев все достигается давлением, что, по правде говоря, не вполне ясно, у ньютонианцев все объясняется притяжением, что, однако, немногим яснее. Наконец, в Париже Землю считают вытянутой у полюсов, как яйцо, а в Лондоне она сжата, как тыква...»

ЛАПЛАСИАН

Лапласианом называют оператор, являющийся обобщением на функции w = f(x, у, z, t) координат пространства и времени и равный сумме вторых производных функции от х, у, z:

Δw = d²w/dx²+ d²w/dy² + d²w/dz²^.

Лаплас посвятил много времени решениям дифференциальных уравнений математической физики, в которой появилась эта формула. Три из этих уравнений по-настоящему важны.

— Δw=0: уравнение Лапласа, которое отражает тот факт, что совершенное жидкое тело, в котором нет потока, является неразрушимым. Это уравнение математическим способом представляет очевидный факт: если жидкое тело является неразрушимым, количество жидкости, которая выходит в любом малом объеме и за данный промежуток времени, и то количество жидкости, которое в нем остается, — идентичны. Однако, когда это уравнение подвергается математическому рассмотрению, оно приводит к неожиданным выводам, которые далеки оттого, чтобы быть прописной истиной, и позволяют сделать некоторые прогнозы. Лаплас открыл это уравнение, когда изучал потенциал притяжения (функция, измеряющая силу притяжения, посредством которой тело любой формы притягивает определенную массу).

— Уравнение распространения тепла:

Δw = dw/dt.

— Волновое уравнение:

Δw = d2w/dt2.

Впрочем, идея этого уравнения и функции, следующей из него, — Симеон Дени Пуассон (1781-1840) и позже, в 1828 году, Джордж Грин (1793-1841) назвали ее потенциальной функцией — уже прослеживалась в работах, написанных ранее Эйлером и Лагранжем, а Лаплас первым упомянул эти две формулы в своих исследованиях тяготения. Это уравнение и эта функция сыграют фундаментальную роль в последующих работах, касающихся тепла, электричества и магнетизма. Удивительно также, что уравнение Лапласа и многочлены Лежандра необходимы для описания поведения электронов и атомов: двумя веками позже они снова появятся в фундаментальном уравнении квантовой механики — в уравнении Шрёдингера.

ОРБИТЫ И КОМЕТЫ