Лекции о Лейбнице. 1980, 1986/87

Первый вопрос, мы сталкивались с ним в прошлый раз, – это чрезвычайная важность понятия «сингулярность», и я полагаю, что «сингулярность», или «сингулярная точка», – это одно из начальных понятий математики, которое возникает у истоков теории функций. Историки математики справедливо считают, что теория функций – это, вероятно, первая великая теория, от которой зависит то, что называют математикой Нового времени. Теория аналитических функций… Так вот, Лейбниц стоит у истоков этой теории функций. Значение Лейбница для математики, наверное, состоит в том, что в своих математических произведениях он разрабатывает теорию функций, в которой он – я бы не сказал: «Ничего не будет разрабатывать», но я бы сказал: «Очень мало изменит». Итак, это основополагающее для математики деяние, ориентирующее математику на теорию функций. Но ведь сингулярные точки, или сингулярности, суть основной инструмент этой теории, только Лейбниц не довольствуется тем, что становится первым великим математиком, разрабатывающим всю теорию функций, – не скажу, что он ее создает, потому что в XVIII веке вырисовываются контуры великой теории функций; но он, Лейбниц, не только таков; концепт сингулярности встречается у него очень часто, становясь философско-математическим – и в каком смысле? В точном смысле – или в общем и целом – мы можем сказать: мы уже видели, что сингулярности бывают нескольких типов, и нашей целью будет классифицировать сингулярности в лейбницианском смысле термина «сингулярность». Но ведь в первом значении слова – что такое для Лейбница сингулярность? Я бы сказал очень схематично: сингулярность – это сгиб, или, если вы предпочитаете, точка сгиба; но ведь мир и есть бесконечный ряд возможных сингулярностей. Мой первый вопрос-вывод таков: что такое сингулярность, или что такое сингулярная точка, если сказано, что в общем и целом мы можем утверждать, что сингулярность – это сгиб, или сингулярность находится там, где с кривой что-то происходит? Стало быть, с самого начала наша идея поверхности с переменной кривизной, которая показалась нам основополагающей темой у Лейбница, неотделима от техники и философии сингулярностей и сингулярных точек. Я думаю, мне нет необходимости настаивать на новизне смысла такого понятия, так как оно, конечно, употреблялось до того, как логика познакомилась с универсальным, всеобщим, частным и сингулярным. Но сингулярность в смысле «сингулярной точки», или того, что происходит с линией, – вот нечто совершенно новое, и, по сути, оно имеет математический исток.

Итак, с этого уровня я могу философски определять событие как совокупность сингулярностей. В этот момент я бы сказал, что данное понятие – даже не только математического, но и физического происхождения. Критическая точка в физике: испарение, кристаллизация, все, что угодно, – критическая точка в физике предъявляет себя как сингулярность. Все это, как вы чувствуете, влечет за собой множество проблем; за появление этого математико-физико-философского понятия воздадим хвалу Лейбницу.

Вот первая группа вопросов, которые, с нашей точки зрения, уже поставлены; но вы чувствуете, что эта материя должна разрабатываться, способствовать исследованиям.

Второй вопрос, или второе предчувствие, которое у нас есть: возможно, что между двумя сингулярностями существует тип совершенно оригинальных отношений, и логика события требует, чтобы этот тип отношений был конкретизирован. Что это за отношения, и какого типа отношения существуют между сингулярностями? В прошлый раз я выдвинул гипотезу, исходя из следующей идеи: столь причудливое понятие, как то, что придумывает Лейбниц, говоря нам: если вы возьмете множество возможностей, то они не обязательно будут совозможными; стало быть, отношения совозможности и несовозможности будут тем самым типом отношений между сингулярностями. Адам-негрешник несовозможен с миром, где Адам согрешил. Еще раз поймите как следует: это неважно, что Адам-негрешник противоречит Адаму-грешнику, но не противоречит миру, где Адам согрешил. Просто между миром, где согрешил Адам, и миром, где Адам не грешит, наличествует несовозможность. Положение Бога, когда Он творит мир, вы видите, очень причудливо – и это относится к самым знаменитым идеям Лейбница: положение Бога, когда Он творит мир, состоит в том, что Бог оказывается в ситуации, когда Он выбирает из бесконечного множества возможных миров, Он делает выбор между бесконечным множеством в равной степени возможных миров, которые, однако, несовозможны друг с другом. В Божьем разуме существует бесконечное множество миров, и Бог среди возможных миров, которые несовозможны друг с другом, выберет один.