Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности

Почему же, несмотря на эти осложнения, регрессия к среднему не делает всю популяцию однородной или по меньшей мере все более и более усредненной? Казалось бы, она должна производить такой эффект, но факты говорят об ином.

Длина табачных листьев, которые изучал Гальтон, на протяжении многих поколений соответствовала одному и тому же неизменному распределению. Более того, это распределение с высокой точностью совпадало с тем, которое всего за несколько десятилетий до исследований Гальтона описал Гаусс. Гальтон обнаружил, что если некая характеристика популяции распределена нормально, то из этого следует, чисто математически, что явление регрессии к среднему уравновешивается тем фактом, что среди потомства особей, превышающих средний уровень, встречаются особи выдающиеся. Как разнообразие, так и стабильность популяции сохраняются даже при наличии регрессии к среднему, потому что этого требуют математические характеристики распределения Гаусса.

Впоследствии математики выяснили, что связь между разнообразием и устойчивостью, которую обнаружил Гальтон, возникает только при приблизительно гауссовом распределении популяции[44]. Следовательно, нормальное распределение можно считать источником стабильности: именно оно позволяет популяции оставаться в целом неизменной от поколения к поколению, несмотря на регрессию к среднему.

Разумеется, некоторые изменения популяции со временем все же происходят. Например, в прошлом веке человечество стало существенно выше ростом. Это отчасти вызвано развитием медицины, а отчасти — резким сокращением неполноценного питания. Тем не менее уже ясно, что в последние несколько десятилетий это увеличение остановилось, по меньшей мере в развитых странах. Рост будущих поколений, вероятно, будет приблизительно таким же, как рост нашего поколения — как по среднему значению, так и по стандартному отклонению. Установился новый стабильный ростовой режим. Распределение Гаусса сдвинулось, но осталось самим собой.

Закон регрессии к среднему действует как в Тихонии, так и в Диконии, но, поскольку стабильность популяции может быть гарантирована только распределениями, близкими к гауссову, стабильность встречается только в Тихонии. Поэтому не следует пренебрегать традиционной тихонской наукой, хотя она и не способна адекватно описывать (или моделировать) некоторые явления. В глубине души все мы жаждем стабильности, и некоторым популяциям удается ее достигнуть. Тараканы и крысы остаются неизменными на протяжении миллионов лет, сохраняя такие характеристики, как соотношение численности крупных и мелких или светлых и темных особей. Законы Тихонии весьма неплохо моделируют некоторые явления реального мира.

Наличие стабильности в Тихонии не означает, что своего рода стабильности не может существовать и в Диконии. Гераклит Эфесский говорил (или говорят, что он говорил), что ничто не постоянно, кроме перемен. Этот афоризм, которому уже две с половиной тысячи лет, отлично описывает те формы стабильности, которые существуют в Диконии — мире, в котором стабильность, присущая популяции тараканов, просто непредставима. Но, хотя Дикония дика, в ней тоже действуют природные законы. Некоторые из законов природы направляют мир в сторону Тихонии, другие — в сторону Диконии. Пока что сосредоточим свое внимание на Тихонии. О Диконии поговорим потом.

Доска Гальтона

Фрэнсис Гальтон изобрел устройство, известное теперь под названием «доски Гальтона» (илл. 6); его называют также «фасолевой машиной» (bean machine). Оно наглядно демонстрирует хорошо известный закон вероятности. Шарики (или, например, фасолины) бросают в воронку сверху, предполагая, что падающий шарик при ударе о шпенек с равной вероятностью отскакивает или вправо, или влево. Шарики заполняют пазы в соответствии с так называемым биномиальным распределением. По мере падения шариков кривая, которую они образуют, все точнее и точнее соответствует распределению Гаусса. В 1920 году Дьёрдь Пойа опубликовал статью с математическим доказательством этого принципа; он назвал свою теорему центральной предельной теоремой. Слово «центральная» отражает роль этой теоремы в теории вероятностей. Как мы вскоре увидим, она также проливает свет на одну из важных уловок природы, помогающих продвижению мира в сторону Тихонии.