Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности

Все это важно понимать очень четко, потому что в дальнейшем мы увидим, что некоторые из чудес Диконии характеризуются не крайне малой или даже нулевой вероятностью, а отсутствием какой бы то ни было вероятности. То есть существуют такие явления, которым нельзя приписать никакой вероятности, — в том же смысле, в котором у распределения Коши нет стандартного отклонения. Это может быть связано, например, с тем, что такие события невообразимы, но произойти никак иначе они не могут. Есть множество других причин, по которым событию нельзя приписать хоть какой-либо вероятности, но оно тем не менее может произойти. Так обстояло дело со стрельбой нашей Фиби, которая могла попасть в стену в точке, находящейся почти невообразимо далеко.

Гёдель как окраина Тихонии

При обсуждении окраин Тихонии не следует забывать о теореме Гёделя, которая целиком и полностью происходит из тихонской математики, хотя и потрясла эту математику до самого основания. Она произвела поразительно необычный результат, который до того был невообразимым для многих из самых выдающихся теоретиков. Кроме того, она была с точки зрения математиков явлением в высшей степени нежелательным. В 1900 году, когда великий немецкий математик Давид Гильберт составил список наиболее насущных математических задач на наступающее столетие, одним из первых пунктов этого списка было доказательство того, что математика никогда не порождает противоречий[54]. Эту задачу Гёдель решил в своей второй теореме о неполноте, но полученный им результат был прямо противоположен ожидавшемуся. Вместо того чтобы доказать, что математика непротиворечива, он доказал, что доказать непротиворечивость математики внутри ее самой невозможно. Говорят, Гильберт рассердился, когда узнал о теореме Гёделя. Джон фон Нейман, как мы видели, просто забросил свои исследования в области логики.

До Гёделя всегда считалось самоочевидным, что для нахождения решения математической задачи требуются только достаточные способности, рассудительность и ловкость. Математик не был стопроцентно уверен, что решение существует, так как поставленная Гильбертом задача о непротиворечивости еще не была решена (не решена она и до сих пор), но у него не было причин сомневаться в том, что рано или поздно непротиворечивость математики будет доказана. После Гёделя приходится постоянно помнить о том, что решение задачи может не даваться не потому, что решающему ее не хватает ума, а потому, что задача эта — гёделева, то есть в рамках системы математики невозможно вывести ни заключенное в ней утверждение, ни утверждение обратное ему. И разумеется, появляется все больше результатов, доказывающих, что некоторые задачи действительно являются гёделевыми.

Если некоторое математическое утверждение гёделево, то математика не способна определить, истинно оно или ложно. Естественная наука, например физика или психология, возможно, сумеет установить, как обстоит дело в контексте реального мира, но математика не может дать никакого определенного ответа. Математика говорит только, что с ее точки зрения любой ответ был бы одинаково хорош — как утвердительный, так и отрицательный. Действительно, нашу математическую систему можно расширить новой аксиомой, содержащей либо само утверждение, либо его отрицание! В обоих случаях математика останется непротиворечивой (если, разумеется, она была непротиворечивой до этого), хотя разные случаи, возможно, потребуют разных математик. Например, если физики установят, что пространство обладает нулевой кривизной, математики создадут модель в форме старой доброй евклидовой геометрии. Однако если физики каким-то образом откроют, что пространство искривлено, то математики смогут предложить целый ассортимент разных неевклидовых геометрий, например разработанные Бойяи и Лобачевским. Вопрос о том, обладает ли пространство нулевой кривизной, — вопрос не математический. На самом деле физики пришли к убеждению, что кривизна пространства должна быть ненулевой.

В результате работы Гёделя математикам стало ясно, что математика не может исключить возможности параллельного существования нескольких разных математических систем, подчиняющихся разным законам. Мы уже видели, например, что цивилизации, имеющие разные концепции целых чисел, вполне могут существовать бок о бок. У некоторых цивилизаций может не быть понятия о нуле. Вспомним, что гипервещественное, бесконечно малое число 1/I тоже можно в некотором смысле считать нулем, так как оно меньше любого традиционного вещественного числа. Однако это не «настоящий» нуль, так как на это число можно делить, а с нашим традиционным нулем такую операцию проделать нельзя.

Тот факт, что некоторые явления происходят по законам Тихонии, не исключает возможности подчинения других явлений законам Диконии. Нам нужно построить науки обоих миров и тщательно обдумывать, к какому из них принадлежит то или иное конкретное явление. Так гёделевское мышление, первоклассное произведение тихонской науки, заложило основу для понимания чудес Диконии.