Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности

Фракталы заинтересовали и психологов. Они провели исследования, чтобы выяснить, какого рода изображения (пейзажи и абстрактные картины) кажутся нам красивыми, и один из неизменных результатов этих исследований сводился к тому, что нас привлекают изображения, подобные фракталам[87]. Возможно, это связано вот с чем: мы настолько окружены фракталами, что эти изображения кажутся нам более знакомыми, чем фигуры более традиционной геометрии. Удивительно, что психологам понадобилось столько времени на открытие этого факта — ведь фракталы буквально на каждом шагу!

Изображения фрактального типа — подобные упомянутому выше «треугольнику Серпинского» — мозаике VII века — существуют в искусстве издавна. Можно еще упомянуть «пламенеющие» арки и ажурные переплетения готической архитектуры, в которых, как и во многих произведениях современной живописи, в некоторой мере проявляется самоподобие. Однако за годы, прошедшие с тех пор, как программы для генерирования фракталов стали широко доступны, появился целый новый жанр изобразительного искусства, в котором фракталы используются осознанно. На илл. 20 изображена «оболочка Мандельброта» (Mandelbulb), созданная Дэниелом Уайтом и Полом Ниландером на основе трехмерного варианта множества Мандельброта.

Илл. 20. Оболочка Мандельброта

(Авторы изображения — Дэниел Уайт и Пол Ниландер)

Фракталы активно используются современными художниками, работающими в области компьютерной графики. Каждый холм и каждое облако в вашей любимой видеоигре построены алгоритмом генерирования фракталов, создающим реалистичные изображения. Самоподобие встречается даже в литературе: последний, связывающий, сонет (магистрал) в классическом венке состоит из первых стихов предыдущих четырнадцати сонетов. В музыке существует фуга, в которой самоподобие выражается в повторяющемся возникновении одной и той же темы. В ней же есть и масштабная инвариантность, проявляющаяся в увеличении и уменьшении, когда тема воспроизводится с большей (увеличенной) или с меньшей (уменьшенной) длительностью нот, в сжатии (стретто), когда голос, имитирующий тему, вступает еще до того, как завершился предыдущий, и в инверсии, когда тема повторяется в зеркальном отражении.

Самоподобие может приносить огромную пользу инженерам, потому что одна и та же конструкция может быть использована для изготовления механизма, выполняющего некую функцию на всех возможных масштабах. Однако тут сразу же возникают трудности, например, в связи с тем, что при увеличении размеров абсолютно одинаковых трехмерных объектов отношение их объема к площади поверхности не остается неизменным. Это может вызвать нарушения структурной или термодинамической устойчивости. С другой стороны, природа ничего не конструирует. Она просто лепит наугад, и выживает то, что выживает.

Если бы мы открыли закон, из которого следовало бы, что все на свете стремится к достижению максимальной масштабной инвариантности, это было бы большим шагом к пониманию того, как в природном мире возникают структуры невероятной сложности. Из этого вытекало бы, что вещи становятся масштабно-инвариантными не из-за некоего конкретного конструктивного принципа, определенного именно их собственной историей, но в соответствии со всеобщим законом. Если бы такой, ранее не известный, всеобщий руководящий принцип был найден, честь его открытия можно было бы приписать Мандельброту. Но если такой принцип и существует, мы знаем очень мало о механизме его работы и еще менее способны определить область его применимости.

Масштабно-инвариантный хаос

Хаос и масштабная инвариантность неразлучны. Единственное очевидное и тривиальное исключение из этого правила составляет отрезок прямой. Все остальные масштабно-инвариантные объекты обладают всеми тремя характеристиками хаоса, сформулированными в предыдущей главе: