Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности

Идет время: мы проплыли уже 20 км, а противоположного берега все не видно. Слегка упав духом, мы на минуту перестаем грести, чтобы обдумать положение. Сколько нам еще осталось? Если мы настроены настолько пессимистично, что думаем, что мы, возможно, имеем дело с явлением вечной молодости — экстремальным проявлением Тихонии, — то следует ожидать, что нам остается преодолеть то же расстояние, на которое мы настраивались, когда начинали свой поход, — то есть еще 5 км.

Если мы действительно находимся в Тихонии, такая точка зрения будет крайне пессимистичной, потому что в Тихонии вечная молодость не встречается на каждом шагу; очень немногое в этом мире вечно остается молодым. Гораздо чаще тихонские существа стареют. В приложении к нашей ситуации это должно означать, что чем больше мы уже миновали, тем меньше нам, предположительно, остается. Такое положение вещей кажется гораздо более вероятным. Но в Диконии существуют вещи и намного более странные, чем вечная молодость. Если все же окажется, что мы в Диконии, то чем дальше мы уже уплыли, тем больше нам, предположительно, остается проплыть! Такой вариант совершенно не обрадует экипаж нашей маленькой лодки!

Поэтому, не без некоторого трепета, мы начинаем считать. Предположим, что распределение ширины озер в этой стране такое же, как в нашей, только генеральная совокупность их в сто раз больше. Возможно, это распределение уже было диконским, но мы этого не замечали, потому что знали все озера поименно.

По мере того как мы осознаем, что чем дольше мы гребем, тем дольше нам, вероятно, грести, нас охватывает уныние. Например, если бы нам довелось проплыть 30 км по одному из озер родной страны и мы бы все еще не видели противоположного берега, мы заключили бы, что находимся на одном из двух озер — только у двух ширина превышает 30 км. Значит, нам оставалось бы пройти либо 15 км, либо 45. Таким образом, в родной стране нам осталось бы плыть в среднем 30 км, а не пять, как мы предполагали изначально. Мы понимаем также, что в нашей стране это рассуждение справедливо не только в отношении двух крупнейших озер, но и в любой точке маршрута. Рассмотрев все знакомые нам озера, мы с грустью приходим к осознанию общего правила: если мы уже прошли x км, можно ожидать, что нам остается пройти еще x км.

Распределение озер в нашей стране имеет диконский характер в том смысле, что чем больше мы прошли, тем больше нам, вероятно, остается. Следовательно, мы сталкиваемся с ситуацией гораздо худшей, чем экстремальное тихонское явление вечной молодости, не только в таком походе в чужие края, но и — как мы теперь понимаем — у себя дома.

Поскольку географические условия в этой огромной стране, по сути дела, такие же, как в нашей, у нас есть все основания полагать, что и распределение озер в ней выглядит так же, но самих озер гораздо больше. Чем дальше мы ушли, тем большее расстояние следует считать еще не пройденным. Но насколько большее? На что мы можем рассчитывать здесь, в стране огромных размеров, если, даже проплыв 75 км, мы все равно не видим берега?

Мы знаем, что дома, преодолев такое расстояние, мы должны были бы достигнуть берега, а если мы его не видим, значит, нам пора побеспокоиться о собственном душевном здоровье. Но в Стране ста миллионов озер ничто не гарантирует, что самое крупное озеро имеет в ширину всего 75 км. В такой огромной стране могут встречаться озера шириной в сотни и даже тысячи километров. Оказавшись в этой глуши, мы вынуждены заключить: нам следует ожидать, что до конца пути еще 75 км. А если мы проплывем еще 75 км и все еще не увидим берега, нам придется предположить, что до него остается еще 150 км.

Фактор Мандельброта

Но есть ли у нас основания предполагать такую простую пропорциональность? Если распределение озер хорошо моделируется с использованием математики безмасштабных сетей и соответствует распределению соединений, исходящих из каждой вершины, тогда нашу оценку можно считать обоснованной. Математика говорит, что если безмасштабная сеть оказывается хорошей моделью для распределения ширины озер, то так эту ширину и следует рассчитывать. Прямо сейчас мы можем не беспокоиться о том, действительно ли эта модель описывает распределение озер. Раз мы сами придумали Страну ста миллионов озер, просто договоримся, что так оно и есть.

Рассмотрим сеть знакомств. Предположим, каждый человек в такой сети имеет в среднем 150 знакомых. Сколько знакомых можно ожидать у человека, заведомо имеющего больше этого числа знакомств? Наше плавание к дальнему берегу озера соответствует в этом случае достижению конца списка знакомств такого человека. Таким образом, мы предполагаем, что в дополнение к уже известным нам 150 знакомым у него есть еще 150, а всего 300. А если мы знаем, что у кого-то больше 500 знакомых, можем предположить, что у него — или у нее — по меньшей мере еще 500.