Логика для всех. От пиратов до мудрецов

Неудивительно, что школьники часто не отличают свойство от признака (и вообще прямую теорему от обратной), подменяют доказательство рассмотрением частного случая и делают другие логические ошибки. Удивительно скорее, когда учителей это удивляет. Мы так давно привыкли к правилам игры и считаем их настолько очевидными, что детям даже и сообщать их в соответствии с программой не требуется: пусть сами догадаются! И наиболее склонные к абстрактному мышлению дети действительно догадываются. А наиболее склонные к честной игре учителя считают своим долгом своевременно познакомить всех участников с ее правилами и терпеливо приучают не нарушать их. В помощь таким учителям и написана эта книга.

Автор благодарит К. А. Кнопа, А. В. Шаповалова и. Э. Шноля за предложенные задачи, методические идеи подробные содержательные обсуждения.

Занятие 1 Легко ли быть рыцарем, или Высказывания и их отрицания

– В теперешнее время полезнее всего отрицание – мы отрицаем.

– Всё?

– Всё.

И. С. Тургенев. «Отцы и дети»

На этом занятии вводятся понятия высказывания и его отрицания, а также формулируется закон исключенного третьего.

Его можно проводить на кружке с разнородным составом. Большинство заданий доступны абсолютно всем и заинтересуют в том числе и ребят с гуманитарным складом ума. А те кружковцы, для которых эти задания очевидны, смогут вдоволь поломать голову над вопросами со звездочкой.

Текст о трудных вопросах для рыцаря предлагаем использовать для беседы с учениками-«рыцарями». При обсуждении задачи 1.1 интересно сравнить для случаев 3, 4 и 5 степень незнания: «я пока не знаю, но могу узнать», «никто пока не знает и неизвестно, узнает ли когда-либо» и «принципиально нельзя однозначно ответить на вопрос».

Сюжет о пляже на острове рыцарей и лжецов можно разыграть с помощью двух участников кружка, выдав им записки с репликами Боба и Доба и попросив сыграть поартистичнее. Имена можно поменять на имена реальных ребят.

Стоит ли записывать и учить определения и «правила»? Заметим, что понятие высказывания – неопределяемое, подчеркнутые в тексте слова лишь поясняют его. Дать строгое определение отрицанию несложно, но на этом уровне незачем. А вот законом исключенного третьего мы еще не раз воспользуемся, его не вредно и на доске записать.

После задачи 1.3 можно честно спросить у ребят: «Вам не кажется, что мы тут ерундой занимаемся и зачем-то формулируем очевидные вещи?» Потом дружно «доказать», что Земля имеет форму чемодана (см. задачу 1.4). А после разрешения парадокса заметить, что иногда именно так и развивается математика: интуитивно верные рассуждения приводят к абсурду, приходится рассуждать более строго, создавая тем самым новую теорию.

Задачи 1.5–1.8 – простые упражнения на закрепление пройденного. Задача 1.9 связана с законом двойного отрицания. Если она вызывает сложности, то можно предложить вопрос, где этот закон не так хитро прячется за разнообразными словами. Например, истинно ли высказывание «Неверно, что неверно, что сегодня пятница»? Задача 1.10 аналогична 1.4 и очень известна: ее условие знают все, а решение мало кто. Задача 1.11 – это 6 задач по математике. Первые две очевидны, но сама формулировка отрицания может вызвать сложности; их преодолению уделяется значительное внимание на втором занятии. В большинстве остальных очевидна формулировка отрицания, зато возрастает сложность самих задач. Это удобно, чтобы в конце занятия самые быстрые кружковцы не скучали без дела. Разбирать задачу 1.11 (п. 5) на этом занятии вряд ли стоит, лучше вернуться к ней при изучении принципа Дирихле. Зато демонстрация решения задачи 1.11 (п. 6) может стать веселым финалом.

Легко ли быть рыцарем? Нет, не средневековым воином в доспехах, а всего лишь абсолютно честным жителем острова рыцарей и лжецов. Кто думает, что легко, пусть попробует честно ответить на такие вопросы:

1. Какого цвета небо?

2. Ты сильный?

3. Верно ли, что любое четное число, не меньшее 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел?

Первый вопрос трудный, потому что небо бывает разным. Кто думает, что небо голубое, пусть посмотрит на него во время дождя, на закате или ночью. Так что в реальной жизни на такой вопрос однозначно ответить нельзя. Но в математике принято упрощать жизнь. Например, настоящий пешеход нуждается в отдыхе, а в задаче на движение может идти много часов с постоянной скоростью. Поэтому и цвет неба можно считать постоянным. Давайте договоримся считать его голубым.

Второй вопрос трудный, потому что всякая сила относительна. Если сильный тот, кто может 5 раз подтянуться на турнике, то да. А если сильный тот, кто может поднять 50-килограммовую штангу, то нет. Чтобы рыцарь мог ответить на подобный вопрос, надо сначала четко сформулировать, какой человек считается сильным.