Логика для всех. От пиратов до мудрецов

5.9. Первое утверждение верно. Но убедиться в этом не поможет ни один, ни сто примеров многоугольников, требуется общее доказательство. Оно несложно: количество клеточек равно удвоенному количеству доминошек, следовательно, оно четно. Второе утверждение неверно; чтобы это доказать, достаточно привести любой контрпример. Один из них изображен на рисунке справа.

Комментарий. Истинные высказывания в форме следствия доказать на примере нельзя, зато ложные опровергаются с помощью контрпримера. Это неудивительно: ведь следствия могут быть переформулированы как высказывания про всех.

5.10. С точки зрения формальной логики – да, правду. Ведь папоротник не цветет, поэтому утверждение «Человек сорвет цветок папоротника» заведомо ложно. Сложное же высказывание «Если А, то Б» при ложном А истинно независимо от истинности Б.

5.11. Заметим, что из каждого утверждения следует предыдущее (в порядке перечисления). Поэтому если утверждение «Число а делится на 24» верно, то верны и все остальные. Значит, только оно может оказаться единственным неверным из четырех. В качестве примеров подойдут числа, делящиеся на 12, но не делящиеся на 24: 12, 36, 60 и т. д.

5.12. Утверждение «Если на одной стороне карточки написано четное число, то на другой – гласная буква» является ложным лишь в одном случае: если на одной стороне карточки четное число, а на другой – согласная буква. Поэтому надо перевернуть 2 карточки: с числом 4 (на обороте должна быть гласная буква) и с буквой Б (на обороте должно быть нечетное число).

Ответ: 2 карточки.

5.13. Решение 1. В (1) сказано, что если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя. Но в (3) сказано, что пасмурной погоды без дождя не будет. Значит, будет ветрено. По условию (2) в случае дождя ветра не было бы. Значит, дождя не будет. А по условию (3) и в случае пасмурной погоды не было бы ветра. Значит, будет солнечно.

Ответ. Будет солнечно, ветрено, но без дождя.

Комментарий. Разобравшись, в каком порядке использовать условие, удалось решить задачу коротко. Можно прийти к ответу и менее творчески, методом полного перебора.

Решение 2. Выпишем все 8 возможных (в этой задаче) типов погоды: СВД, СВД, СВД, СВД, СВД, СВД, СВД, СДД. В этой записи С означает солнце, В – ветер, а Д – дождь; если буква зачеркнута, то такого не будет. Например, СВД означает погоду пасмурную, безветренную и с дождем. Вычеркнем сочетания, противоречащие первому прогнозу: СВД, СВД, СВД. Остались СВД, СВД, СВД, СВД, СВД. Вычеркнем из них противоречащие второму прогнозу: СВД, СВД. Остались СВД, СВД, СВД. Наконец, вычеркнем СВД и СВД, противоречащие третьему прогнозу. Остался прогноз СВД: солнечно, ветрено, но без дождя.

5.14. Примеры Шляпы и Сони действительно показывают разницу между «А ⇒ Б» и «Б ⇒ А». Чтобы в этом убедиться, можно каждую фразу построить более формально, например, «Если я что-то ем, то я это вижу» и т. п.

Пример Зайца можно понимать по-разному. Первое его высказывание может означать «Если я что-то учу, то я этого не знаю» (А ⇒ «не Б»), тогда второе следует понимать как «Если я что-то знаю, то я этого не учу». (Б ⇒ «не А»). Но оба эти высказывания истинны при одном и том же условии: А и Б не должны выполняться одновременно. А это значит, что высказывания «А ⇒ „не Б“» и «Б ⇒ „не А“» равносильны. Иное возможное толкование первого высказывания «Если я чего-то не знаю, то я это учу» («не А» ⇒ Б) соответствует пониманию второго как «Если я чего-то не учу, то я это знаю» (не Б ⇒ А). Эти высказывания также равносильны, поскольку оба оказываются истинными во всех случаях, кроме одного: А и Б оба ложны. Итак, с формальной точки зрения высказывания «Я учу то, чего не знаю» и «Я знаю то, чего не учу» действительно означают одно и то же, и пример Зайца неубедителен. А с точки зрения здравого смысла? «Я учу то, чего не знаю» говорит о любознательности, а «Я знаю то, чего не учу» – о глупой самонадеянности. В чем секрет? Во временах глаголов! «Я учу то, чего не знаю» мы понимаем как «Я сейчас учу то, чего не знал раньше», а «Я знаю то, чего не учу» – как «Я сейчас знаю то, чего не учил раньше». Никаких одинаковых простых высказываний А и Б не наблюдается, и говорить о равносильности составных нет причин.

Комментарий. В оригинальном английском тексте высказывание Зайца, связанное со свободным употреблением времен глаголов в русском языке, отсутствует. Нет его и в переводах на русский язык В. Набокова и Н. Демуровой.

Занятие 6

6.6. Нет.

6.7. 1) Пусть у меня есть единственный друг Петя. Он болеет за «Спартак», но не занимается спортом. А у «Спартака» кроме Пети есть еще один болельщик, Вася, который спортом занимается. Тогда оба условия верны, а вывод – нет.