Логика и аргументация: Учебн. пособие для вузов.

Дизъюнкция (логическая сумма) двух или нескольких простых высказываний образуется путем объединения их логической связкой "или". Союз "или" в языке чаще всего употребляется в исключающем смысле, когда происходит выбор между двумя альтернативами: либо одно, либо другое. Реже используется этот союз в неисключающем смысле, т.е. выражается словом "а также". В логике и математике связка "или" употребляется преимущественно в неисключающем смысле. Так, например, дизъюнкция "2 меньше 3 или 3 меньше 5" понимается в неисключающем смысле, так как не только 2, но и 3 меньше 5.

Неисключающая дизъюнкция считается ложной в том и только в том случае, когда все ее дизъюнктивные члены будут ложными. Поэтому достаточно одного истинного члена, чтобы дизъюнкция была истинной. Исключающая дизъюнкция истинна тогда, когда только один из ее членов является истинным, а другой - ложным. Она будет ложной, если оба ее члена одновременно истинны либо ложны. Оператор дизъюнкции обозначается символом ∨ - для неисключающей дизъюнкции и символом ∨ - для исключающей дизъюнкции.

Учитывая принятые соглашения, мы можем построить таблицы истинности (табл. 3) для неисключающей (слева) и исключающей (справа) дизъюнкции.

Операция импликации состоит в образовании сложного высказывания из двух простых высказываний посредством логической связки, обозначаемой словами "если..., то... " и приблизительно соответствующей условному предложению в естественном языке. В логике эту связку называют импликацией, и мы будем обозначать ее стрелкой.

Условное высказывание состоит из двух простых высказываний. То из них, которое вводится словом "если", называется антецедентом (предыдущим высказыванием), а также основанием, а начинающееся словом "то" - консеквентом (последующим высказыванием) или следствием условного высказывания.

В науке и повседневном мышлении условные высказывания употребляются для установления связи между высказываниями, которые могут иметь различную форму. С помощью понятий антецедента и консеквента определяются необходимые и достаточные условия. Так, антецедент есть достаточное условие (основание) для консеквента (следствия). Например, в высказывании "Если треугольник имеет равные стороны, то и все его углы будут равны" условие равенства сторон служит достаточным условием (основанием) для следствия - равенства его углов. Одновременно с этим можно сказать, что следствие является необходимым условием для основания, так как "Равенство углов треугольника есть необходимое условие для равенства его сторон".

В обычной речи часто не проводят различия между основанием и следствием, как логическим отношением, и причиной и следствием, как отношением реального мира. Убедиться в наличии причинной связи можно лишь путем конкретного исследования явлений окружающего нас мира. Если одно явление вызывает или порождает другое явление, то первое из них мы называем причиной, а второе - следствием. Так, нагревание стержня - причина - вызывает его удлинение - следствие. Эту зависимость мы устанавливаем эмпирически - путем наблюдения и измерения. Логическое отношение между основанием и следствием не нуждается в эмпирическом исследовании, так как устанавливается с помощью чисто логических рассуждений. В нашем примере равенство углов равностороннего треугольника выводится как геометрическая теорема.

Условные высказывания употребляются для выражения самых разнообразных отношений между высказываниями, но не во всех случаях при этом учитывается их содержание и смысл. В современной логике обращается внимание исключительно на связь между высказываниями по значению их истинности, потому что задача логики состоит в том, чтобы гарантировать истинность заключения из истинных посылок, а для этого необходимо перенести истинность с посылок на заключение. В связи с этим в логической импликации абстрагируются (отвлекаются) от содержания и смысла и обращают внимание только на связь высказываний по значению их истинности. В результате можно рассматривать импликации, которые выглядят бессмысленными и парадоксальными с точки зрения обычного, здравого смысла. Например, "Если 2 х 2 = 5, то Москва - большой город" считается не только допустимой, но и истинной импликацией.

Таким образом, импликация учитывает все случаи распределения значений истинности и считается ложной только тогда, когда ее антецедент истинен, а консеквент ложен.

Например, импликация "Если 2 х 2 = 4, то Москва - небольшой город" является ложной, так как ее антецедент - истинное высказывание, а консеквент - ложное.