Логика и аргументация: Учебное пособие для вузов.

Поскольку остенсивные определения непосредственно связывают слово с вещью, они имеют фундаментальный характер в процессе развития сознания и речи. Однако многие логики не относят их к полноценным определениям в силу того, что они не выделяют одни объекты среди других, а тем более не указывают их существенные свойства. В связи с этим логики эти определения называют протоопределениями (от греч. protos - первый, исходный).

На другом полюсе контекстуальных определений находятся аксиоматические определения, которые широко используются в математике и точных науках, а теперь начинают применяться также в экономических и социологических теориях. В качестве примера рассмотрим определения точки, прямой и плоскости в геометрии Евклида. На первоначальном этапе обучения в школе их смысл обычно разъясняют с помощью тех или иных наглядных образов, т.е. прибегают к остенсивным определениям. Например, точкой называют крохотное пятнышко чернил или графита, а иногда прибегают к более сложному образу, рассматривая точку как место пересечения световых лучей. Ясно, что такие образы нельзя считать даже нестрогими определениями. Поэтому в геометрии ее основные понятия определяют с помощью аксиом, в которых точно и ясно перечисляются все те свойства и отношения, которые присущи точкам, прямым и плоскостям. Обратите внимание, что в аксиоматическом определении речь идет не об отдельном определении точки, прямой и плоскости, а всех этих понятий одновременно, ибо только взятые вместе они обладают теми свойствами, которые перечислены в аксиомах.

Подобным же образом в аксиоматической теории полезности, чтобы придать точный смысл этому понятию, все его свойства, необходимые для экономического анализа, формулируются в аксиомах. Тогда все дальнейшие выводы теории можно получить чисто логически, т.е. как необходимые следствия из принятой системы аксиом. При этом может случиться, что следствия не подтверждаются в действительности, тогда подвергают пересмотру, уточнению и исправлению сами аксиомы. Такой способ применения аксиоматического метода типичен для всех наук, которые опираются на факты, наблюдения и эксперименты.

Другие типы определения

Для научного познания наибольший интерес среди других видов определений представляют семантические и синтаксические определения, а также индуктивные и операциональные определения. Первые два типа определений применяются главным образом в лингвистике и семиотике, т.е. теории знаковых систем. В последние годы такие определения стали все больше использоваться в так называемых формализованных языках, которые применяются для построения алгоритмов и программ для компьютеров.

Семантическим называется определение, в котором некоторому знаку или термину ставится в соответствие определенный объект - реальный или абстрактный. Так, знаком Р обозначают свойство предмета, а функцией от одной переменной - кривую на плоскости. Любой знак приобретает смысл лишь тогда, когда его истолковывают с помощью какого-либо конкретного объекта. Исследование смысла терминов или слов языка составляет главную задачу как общей, так и логической семантики.

Синтаксические определения указывают или выделяет объект посредством установления правил оперирования с объектом. Например, мы можем определить нуль как натуральное число, которое, будучи прибавлено к любому числу, оставляет его неизменным, а при умножении превращает его в нуль.

Индуктивные определения обычно используются в математике для точного определения ряда основных понятий. В качестве примера рассмотрим определение понятия натурального числа, предложенное итальянским математиком Дж. Пеано:

1) "0" есть натуральное число;

2) если n - натуральное число, то следующее непосредственно за ним число и' также будет натуральным числом;

3) никаких других натуральных чисел, кроме тех, которые образуются с помощью правил 1 и 2, нет;

4) для любых натуральных чисел выполняется условие: если последующие их числа равны, т. е. m' = n', то равны и предыдущие числа, m = n. Наоборот, из условия m = n вытекает, что m' = n',

5) нуль не следует ни за каким натуральным числом.

В этом определении, с одной стороны, перечисляются способы образования натуральных чисел, а с другой - указываются свойства, которыми они обладают. Нередко сюда относят и принцип математической индукции.

В логике индуктивные определения используются для точного описания способов образования ее исходных объектов, например, какие формулы являются формулами исчисления высказываний или предикатов. Об этом речь пойдет в последующих главах.