Логика и аргументация: Учебное пособие для вузов.

В приведенном выше определении логического следования свободные переменные рассматриваются как обозначающие некоторые элементы из универсума рассуждения. Поэтому в течение всего рассуждения они, так же, как и предикаты, должны оставаться фиксированными. При другом определении переменные могут быть различными в разных формулах. Чтобы яснее представлять различия между двумя подходами к определению логического следования, обратимся к языку алгебры, в котором, как известно, различают, с одной стороны, уравнения (или условные равенства), а с другой - тождества (или тождественные равенства). В то время как уравнению удовлетворяют только определенные значения переменной, называемые его корнями, тождество выполняется при любых значениях переменной. Именно поэтому уравнения считаются условными равенствами. Действительно, например, в уравнении х2 + 2х - 3 = 0 левая часть равняется правой только при значениях х = 1 и х = -3, а в тождестве (х + 1)2 = х2 + 2х + 1 вместо переменной можно подставлять любые числа.

Соответственно этому будем говорить, что для переменных в уравнениях дается условная интерпретация, а в тождествах - интерпретация всеобщности. При условной интерпретации переменной х в определенном допущении А(х) - куда х входит свободно - любое следствие, полученное из него, должно относиться к тому же самому элементу из универсума А(х). Иными словами, переменная х в этом случае фиксирована, так как представляет то же самое число в процессе рассуждения. При тождественной интерпретации значения переменных могут изменяться. Отсюда становится ясным, что приведенное выше определение для логического следования в исчислении предикатов соответствует условной интерпретации свободных переменных, входящих в допущения A¹, А²,..., Aⁿ. Чтобы сформулировать другое определение следования, необходимо опираться на интерпретацию всеобщности для всех переменных. Для этого необходимо, во- первых, связать все допущения А¹, А², ..., A^m кванторами общности, а во-вторых, построить таблицы истинности, как и в первом определении.

4.5. Выводимость и доказуемость

Приведенные выше понятия общезначимой формулы логического следования в конечном итоге опираются на построение таблицы истинности. Но проверка с помощью таблиц оказывается, как мы видели, и крайне громоздким, и весьма неэффективным средством. Такой способ проверки целесообразно использовать для выявления общезначимых формул и логического следования в исчислении высказываний, где с помощью таблицы истинности мы можем всегда ответить на вопрос, является ли данная формула общезначимой или законом логики в этом исчислении, а также следует ли формула В из формул A¹, А²,..., А^m. Когда существует определенная процедура, посредством которой можно за конечное число шагов разрешить определенный вопрос, тогда в логике и математике говорят, что для ответа на него существует алгоритм или эффективная процедура. Мы можем, например, сказать, что для сложения, умножения, деления и других хорошо известных математических действий существуют определенные алгоритмы. То же самое относится и к исчислению высказываний, где с помощью таблицы истинности всегда можно в конечном итоге ответить на вопрос, является ли данная формула законом исчисления или нет, либо следует ли рассматриваемая формула из другой или других формул.

В исчислении предикатов мы встречаемся с принципиальными трудностями, поскольку не можем проверить неограниченное количество интерпретаций, которые соответствуют заданной формуле из ее универсума рассуждений. Вот почему становится необходимым обратиться к другому способу проверки, основанному на выводе формул по точно установленным правилам. Такая необходимость связана с тем, что для исчисления предикатов не существует алгоритмической процедуры, с помощью которой можно было бы установить, является ли произвольная формула исчисления общезначимой, а также следует ли в ней одна формула из другой. Таким образом, здесь мы не можем так просто разрешить эти вопросы, как в исчислении высказываний. В связи с этим логика предикатов не имеет разрешающей процедуры или алгоритма, которые можно было бы применить к любой формуле исчисления, и решить поставленный вопрос чисто механически.