Логико-философские исследования (Избранные труды)

Как должно быть ясно из приведенных объяснений и структуры нашего формализма (особенно аксиомы Т2), в нашей временной логике время рассматривается как дискретное, как линейное течение исчислимых последовательных случаев (мгновений, моментов времени) . Как и в случае допущения о логико-атомистической структуре мира, здесь также можно задать вопрос: "действительно" ли время имеет дискретную структуру? Не следует ли рассматривать время как "плотное", по крайней мере, т.е. такое, что между двумя любыми моментами времени всегда есть третий? И не следует ли считать его непрерывным? Нет необходимости останавливаться здесь на этих вопросах. Логика связки Т в качестве упрощенной модели временной последовательности состояний мира вполне удовлетворяет целям нашего анализа.

Следует обратить внимание, что под "упрощенностью" модели я понимаю логическую простоту ее концептуальной структуры. Когда в научном анализе каузальные связи формулируются как функциональные зависимости между переменными или когда в математических исчислениях анализируются функции, может оказаться значительно проще трактовать время как континуум, чем рассматривать его как развертывание дискретных моментов. Понимание законов природы как системы дифференциальных уравнений тесно связано с идеей непрерывности времени и пространства. Однако с логической точки зрения эта концепция чрезвычайно запутана и сложна и нелегко определить ее отношение к "действительности". Идея континуума, по-видимому, - это "идеализация", сглаживающая неровную поверхность действительности.

Можно добавить в исчисление коннективного

[82]

T-оператора временной квантор, например понятие "всегда" ("всякий раз, когда"). Если "всегда" обозначить символом /\ , то "никогда" можно определить как /\ ~ , а "иногда" - как ~ /\ ~ . Если добавить символ /\ в алфавит Т-исчисления, то в нашем логическом языке можно сформулировать такие высказывания, как "Всякий раз, когда есть p, в следующий момент будет q". Символически: /\ (p -> ~ (p T q)). Мы не будем обсуждать проблемы аксиоматики и металогики (вопросы полноты, разрешимости и т.п.) в отношении этой кванторной логики дискретного времени(21).

Следующий, и последний, концептуальный элемент, добавляемый в наш формализм, - это оператор М. Оператор М выражает понятие возможности. Невозможность будет определяться как ~М, а необходимость - как ~М~. Аксиоматика нужной нам модальной логики должна обладать по крайней мере такой же силой, как система, образованная пропозициональной логикой, правилом экстенсиональности и следующими аксиомами:

M1. М (p \/ q ) -> М p \/ M q .

M2. p -> М p .

М3. ~ М ( p ~ р ).

Мы не будем доказывать теоремы на основе этих аксиом и даже пытаться выразить результаты наших рассуждений в символическом языке ПЛ+Т+Л+М исчисления. Проблема надлежащей формализации логики обусловленности и каузального анализа (как я предлагаю его называть) в значительной мере остается еще открытой, но я надеюсь, что со временем она будет решена. В данной работе в лучшем случае предлагаются лишь отдельные компоненты, необходимые для ее решения.

Вместо формального анализа в рамках исчисления я буду использовать квазиформальный метод представления и иллюстрации посредством простых топологических фигур (деревьев). Пусть кружки обозначают полные состояния мира, "образованные" из некоторых

[83]

"элементарных" n состояний. Последовательности кружков, связанных линиями слева направо, будут выражать возможные истории мира. Если кружок связан более чем с одним кружком, стоящим непосредственно справа от него, то эти последние означают альтернативные возможные состояния мира, следующие за состоянием, представленным первым кружком.

Данная фигура ничего не говорит о "внутренней структуре" полных состояний (возможных миров), образованных из n элементов. Не показывается даже, выражают ли два каких-либо кружка одно и то же или различные полные состояния. Мы примем соглашение о том, что альтернативные возможности, следующие непосредственно после данного состояния, все будут различны. (В противном случае будет получаться иногда совершенно бессмысленное умножение кружков.) Мы примем также соглашение о том, что верхняя горизонтальная линия (см., например, иллюстрацию на с. 86) представляет действительный ход истории мира на протяжении данного промежутка времени. Под этой "поверхностью действительности" лежит "глубина альтернативных возможностей".

Эта картинка позволяет изучить "свободу движения", которой обладает или обладал бы мир на каждой стадии своей истории. Свобода на разных стадиях может быть большей или меньшей. Ее совсем может не быть, что выразится в продвижении от кружка к непосредственно следующему за ним справа без всяких альтернатив. Свобода мира может быть безграничной. Тогда за один шаг мир может измениться от данного состояния к какому-либо одному из 2**n возможных состояний, которые образованы из тех же элементов. Если m означает число альтернативных возможностей развития на данной стадии истории мира, то можно использовать дробь

(m - 1)/(2**n - 1)