Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Кант мог бы чему-нибудь научиться у «Аналитика» Беркли, если бы он не унял чувства, подозрительно напоминающие профессиональную ревность к своему сопернику-идеалисту. Возможно, он ничему не научился бы и у Гаусса, поскольку «принца математиков» никогда сильно не интересовало научить кого-то чему-то. Гаусс ненавидел любые формы наставлений, его шедевры были вполне законченными, но трудно читаемыми. Сравнительно мало людей разбирались в них, а еще меньше постигали всю глубину написанного. В своих опубликованных произведениях Гаусс всегда был взыскательно справедлив или холодно уважителен по отношению к предшественникам или современникам. Но в своих письмах к верным друзьям он бывал по-крестьянски резок. Не слишком грубый пример 1844 года рассказывает нам, что Гаусс действительно думал о математиках-любителях, когда те берутся разъяснить математику, что показывает его точку зрения на одну из кардинальных идей метафизики Канта: «Вы видите все то же самое [математическая некомпетентность] у современных философов (Шеллинга, Гегеля, Нес фон Эзенбека) и их последователей. У вас волосы не встают дыбом от их определений? Почитайте в истории древней философии, что великие люди той эпохи (Платон и другие (я исключаю Аристотеля) приводили в качестве доказательств. Даже у самого Канта зачастую не лучше. С моей точки зрения, его различия между аналитическими и синтетическими суждениями либо тонут от тривиальности, либо ложны».

Что называется, профессиональное знание против мнения любителя. Но и знание, и мнение могут меняться.

Не все идеи Канта о природе математики противостояли прогрессу, каким его понимали в начале XX века. Мы упоминали в предыдущих главах многообразие школ интуиционистов в философии математики, начало которым положил Брауер около 1912 года и которые медленно развивались под влиянием Вейля и др. В связи с математической бесконечностью было отмечено, что Брауер вслед за Кронекером, жившим в 1823–1891 годах, отказался признавать, что предположение либо истинно, либо ложно до тех пор, пока не найдется какой-нибудь способ подтвердить либо то, либо другое. Интуиционисты отрицают закон Аристотеля об исключенном третьем, где подобные средства отсутствуют. Между прочим, это отрицание оставляет за бортом многое из давно признанного «доказательства существования» классической математики, как чистой, так и прикладной. Это, однако, не является предметом сиюминутного интереса. Именно философия интуиционистов приводит нас обратно к Канту и «интуиции» в математике, на которой он настаивал. Сначала Брауер вообразил, что его философия вытекает из философии Канта, но позднее решительно отверг любую связь и заимствование и отрекся от Канта и почти всей его математической метафизики. Поскольку только создатель современного интуиционизма, как никто другой, может сказать, что вдохновило его, несерьезно оспаривать вопрос.

Математика для интуиционистов сродни (интуитивно?) «точной части нашего мышления» и является предшествующей как для логики, так и для философии. Источником математики декларировано «интуитивное предположение, которое представляет существующие математические концепции и подразумевает, что они для нас сразу ясны». Имеет место отрицание факта, что интуиция в любых отношениях мистична, для них она просто «способность рассматривать раздельно конкретные концепции и умозаключения, появляющиеся регулярно в общественном сознании». Интересно слегка дополнить данное отрицание и утверждение тем, что словарь определяет как понятие «мистицизм»: «Доктрина или вера в то, что прямое знание Бога, духовных истин и высшей реальности и так далее доступно через посреднические институты, предвидение или просветление, способом, отличным от обычного чувственного восприятия и логического рассуждения». «Объекты», с которыми имеют дело математики-интуиционисты, содержатся непосредственно в мысли. Напоминает «априорно синтетическую» геометрию Канта, но, в отличие от нее, эти объекты интуиционистов не зависят от опыта и не существуют вне мысли.