Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Другие не спаслись. Записи разнятся по числу погибших в огне. Некоторые повествуют, что и Пифагор оказался в огненной ловушке с лучшими своими учениками, когда толпа подожгла дом, предварительно заблокировав все выходы. Другие утверждают, что учитель скрылся и добрался до Метапонта, где нашел почитание себе и своему учению вплоть до времени, когда вечность забрала его.

Третьи рассказывают, что Пифагор не стал ждать, пока время возьмет власть над ним, и по достижении семидесятого дня рождения решил, что он прожил достаточно долго, и отказался от еды и питья. Спустя два столетия (а по свидетельству некоторых, и того меньше) после его смерти братство пифагорейцев повсеместно прекратило свое существование.

Глава 16 Намеки на бесконечность

Два вывода из позитивных достижений пифагорейцев в области арифметики и элементарной геометрии повлияли на последующее развитие науки и философии. Во-первых, вера в то, что «число» можно выразить определено таким образом, что по крайней мере физическая вселенная может быть последовательно описана в числовых значениях. Во-вторых, всеобщая уверенность в том, что выводы, полученные в ходе математических рассуждений, обладают большей достоверностью, нежели полученные любыми другими способами. Оба вывода были подвергнуты сомнению, особенно в последнее десятилетие XIX столетия. Каждое было последовательно изменено много раз, чтобы соответствовать возросшему уровню знаний, но базовые положения в обоих случаях оставались неизменными. Вместе они по-прежнему остаются сопряженными постулатами до сих пор не опровергнутой, но и не подтвержденной гипотезы: рациональный расчет (как минимум) физической вселенной возможен, и, когда он наконец будет выполнен, он будет соответствовать чувственному опыту и наделит человечество способностью предсказывать естественный ход развития природы.

В этой честолюбивой мечте не утверждается, что вся природа найдет отражение в одной-единственной формуле, как когда-то предполагали античные нумерологи. Но предвидение все более и более инклюзивного синтеза и последовательно более близкие приближения к «реальности» не все воспринимают как иллюзию, хотя сомневающихся предостаточно. Весь прошлый опыт подтверждает, что первый шаг в неизведанное в конкретном направлении может увести нас далеко от цели исследования, следующий уже не столь далеко, и так далее, пока мы не выдохнемся. Но все вместе приближаются к воображаемой конечной цели, хотя и никогда не достигают ее окончательно, а немногим приходится начинать путь сначала.

Ни в математике, ни в естествознании нет никакой уверенности в достижении подобного устойчивого прогресса. Одна надежда – что, продвинувшись по избранному пути столь далеко, мы (или наши преемники) сумеем найти верную дорогу к будущему. До настоящего времени все свидетельствует только лишь о беспорядочных предварительных исследованиях во многих направлениях с частыми возвращениями почти к отправной точке. Но не совсем. Некоторые знаменитые достижения все-таки имели место, пусть даже они лишь достигли преград, о которых и не подозревали наши предшественники. Они или удаляли преграды, или обходили их и перемещались на новое направление. Так же можем поступать и мы.

В этом непрерывном, хотя и не слишком заметном продвижении каждая эпоха передает следующей моральное обязательство не пренебрегать задачами, решенными только частично. Пока прошлое неясно, будущее неопределенно. Две трудноразрешимые задачи двадцатипятистолетней давности все еще сопротивляются окончательному решению и остаются столь же урожайными на новые методы скрупулезного размышления, как и в тот момент, когда с ними впервые столкнулись. Одна касается значения «числа»; другая – возможности и надежности дедуктивного умозаключения. Обе ведут свое начало от оптимистичной веры пифагорейцев, что «числа» в своем первозданном виде представляют собой самый простой язык, достаточный и для математики, и для рационального описания целой вселенной. Такой подход пифагорейцев был слишком упрощенным и явно недостаточным.

Как мы видели, ранние пифагорейцы признавали, что натуральные числа 1, 2, 3… и дроби, или «отношения», полученные делением одного целого числа на другое, не могут быть использованы для измерения столь элементарной «величины», как диагональ квадрата, сторона которого взята как единица измерения по длине. На самом деле они доказали, что корень квадратный из двух не является рациональным числом. В частности, они предположили, что их первичные числа (рациональные числа) не измеряют длину всех линий. Тогда возник вопрос значения такого понятия, как «длина линии». Было ли обязательно измерять все линии числами?