Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Нынешние геометры знают, что не все может быть детерминировано как составное из простейших составляющих. Но от какого-то неразложимого минимума надо вести начало. Начало для прямых линий находится в следующих простейших абстракциях чувственного опыта: «Две прямые линии пересекаются в одной, и только в одной точке. Через две точки можно провести одну прямую линию, и только одну». В этих постулатах ни «точка», ни «прямая линия» не имеют дальнейшего уточнения или объяснения. Это два базовых, не имеющих дальнейшего деления элемента, на которых построена вся геометрия.

Любой разумный человек может видеть в «точке» и «прямой линии» общеизвестные понятия, которые, как ему представляется, он понимает интуитивно. Но каждое из этих интуитивных ощущений должно оставаться на заднем плане. Оно не должно навязываться геометрии. Подобный запрет не имеет целью встать на пути поиска мысли при формулировании теорем. Начиная с двенадцатилетнего школьника и заканчивая семидесятилетним ученым в тиши кабинета, всякий, посвятивший себя геометрии, нуждается в интуиции и пользуется ею. Только после того, как интуиция и воображение полностью исчерпают себя, они могут быть отброшены, уступив место логике.

В теоретической астрономии и физических науках процедура точно такая же. Земля, которую мы населяем и знаем благодаря нашим ощущениям, – не идеальная планета, которой она представляется в механике небесных тел. Она покрыта глубокими океанами и испещрена горными системами. Эта планета, которую учитывают в расчетах возмущений Солнечной системы, является как безразмерной частицей, наделенной массой и положением, так и гладкой без особых примет сферой, слегка покачивающейся относительно своих полюсов. И хотя солнце и планеты Солнечной системы идеализируются подобным образом, орбиты комет рассчитываются с такой точностью, что возврат перигелия кометы Галлея в 1910 году после ее отсутствия в течение примерно 75 лет был предсказан с погрешностью только в 3,03 дня – около 1 из 9125.

В настоящее время все сказанное настолько хорошо знакомо, что нас можно извинить, если мы посчитаем это явно граничащим с трюизмом. Но всякий, кому и дальнейшее покажется очевидным, является либо гением, либо просто равнодушным человеком. Просто чудесно, что идеальный мир математиков или ученых-теоретиков должен время от времени предсказывать существование непредвиденных событий «реального» мира.

Приведу известный пример такого предсказания. Положение планеты Нептун за пределами возможностей человеческого глаза было предсказано (в 1846 году) путем математических расчетов на основе закона всемирного тяготения Ньютона, и телескоп обнаружил планету очень близко к расчетному месту. Или более свежий пример (1927). Современная физика и математика на основе квантовой теории предположила существование двух видов молекул водорода, ортоводорода и параводорода, о которых химики даже не догадывались. Более того, их соотношение (³/₄ и ¹/₄) в «водороде» совпало с расчетными. Как можно объяснить подобные предсказания?

Объяснений было представлено много, даже слишком много, чтобы предположить, что хоть одно окажется убедительным. Только самое позднее из них (1930) следует рассмотреть в данной работе, как наиболее уместное относительно магии чисел, благодаря древней истории которой и появилось на свет. Человеческий разум должен предполагать результат любого научного эксперимента до того, как опыт будет произведен, потому что можно осознавать и рассуждать последовательно только при одном условии, математическом подходе, и, более того, математические истины бессмертны. Заявлено слишком жестко, но не слишком пристрастно, как в большинстве революционных научных кредо ученых последних трех столетий. Нечто подобное уже произносилось, к этому возвращались много раз и в самых разных формах, с VI века до н. э. и вплоть до наших дней.

Некоторые математики чувствуют необходимость подчинения неизбежности. Возникает ощущение, будто их открытия и находки ожидали их в неизвестном, но вполне узнаваемом будущем. Рационалист сказал бы, что математик проектирует себя в иллюзорное время своего собственного изобретения. Будущее, в которое, как ему представляется, он проникает, на самом деле есть его собственные настоящие абстракции и доказательства – плоти и духа математики. Постоянство и универсальность математики основываются на ее абстрактности, очевидной необходимости или «обреченности» как сопутствующей строгости формальной логики.