Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Продвинувшись далеко вперед по сравнению с Фалесом, Пифагор открыл и доказал множество теорем, на основании которых построен начальный курс геометрии в школе. Не забывая, что часть теорем, приписываемых Пифагору, могли быть открыты его учениками, мы все же утверждаем, опираясь на авторитет греческих историков математики, что Пифагор оставил геометрию в таком состоянии, в котором она благополучно пребывала еще около двух тысяч лет. Ему воздают должное за то, что он признал необходимость вначале давать определение, и необходимость четких формулировок постулатов (аксиом), из которых выстраиваются дедуктивные умозаключения. Более того, в своих доказательствах он старался противодействовать ложным записям дальнейших допущений в дополнение к уже упомянутым постулатам.

Это очень похоже на игру: взять, например, несколько предметов; для их перемещения разрешены только определенного типа строго предписанные правила, каковы же возможные конфигурации из предметов в честной игре? Предметами являются определения и постулаты, правила перемещения подчиняются формальной логике, возможная конфигурация – это результат дедукции на основе постулатов средствами логики, тогда на выходе будет теорема по геометрии.

Любые математические аргументы, полностью формализованные, подвергаются обработке по данной схеме: определения и постулаты, дедукция, теоремы. Четкость греческой техники (но без положенного в ее основу логического обоснования в качестве одной из многих дедуктивных техник) вернулась, когда в 1637 году Декарт создал аналитическую геометрию, где все возможности алгебры и математического анализа были применены к геометрии. Эффект по силе и простоте оказался ошеломляющим, и непосредственно греческая модель вышла из употребления. Но лежащая в ее основе философия выжила.

Чтобы его бедняк ученик не тратил зря время на «игру», Пифагор платил ему монетку за каждую доказанную теорему. Это вполне устраивало бедного молодого человека. Сидя в тенечке, внимательно наблюдая за действиями учителя и запоминая сказанное им, он зарабатывал за час больше, чем заработал бы за целый день, не разгибая спины на солнцепеке. Но Пифагор – ученик скаредного Фалеса – не мог спускать деньги на ветер. По мере того как горка монет начала увеличиваться до размеров приличной суммы, ученик, сам того не желая, активно заинтересовался геометрией и стал подгонять своего учителя. Азартный грек в Пифагоре увидел в этом свой шанс и включился в игру. Поведав ученику, что он сам абсолютно бедный человек, Пифагор предложил теперь ученику платить учителю монетку за каждую новую теорему. К моменту, когда молодой человек смог выучить столько геометрии, сколько смог удержать в голове, и собрался вернуться к тяжелой работе, Пифагор отыграл назад все свои деньги и остался при всех своих знаниях по геометрии, как и в начале игры.

Следует отметить, что конец этой истории едва ли соответствует традиционной строгой честности ученого. Должно быть, это один из последних мифов, созданных с целью усилить ощущение, что невозможно уменьшить неосязаемое путем вычитания неосязаемого или посредством распределения неосязаемого между другими.

Убедившись, что его ученик полностью усвоил новое для него знание, Пифагор предпринял вторую и последнюю попытку просветить своих сограждан. Настолько же разбирающийся в психологии, насколько был сведущ в геометрии, ученый видоизменил главную линию своего поведения. Его провал был плодом его же ошибки. Пифагору следовало вернуться в свой родной город не как профессору знаний и мудрости, а как напыщенному мистагогу, имеющему на руках рекомендации одного или нескольких известных оракулов. Объявив, что уезжает с Самоса для посещения магистров – истолкователей таинств на Дилосе и на Крите, Пифагор заверил своих очернителей, что вернется, как только получит должным образом оформленные свидетельства на право обучения в вопросах наивысшего практического значения.

Он сдержал свое слово. Возможно, что во время посещения Крита он и сам кое-чему подучился. Там он мог услышать об Эпимениде Критском. Эпименид Критский обрел заслуженное бессмертие благодаря своему изречению: «Все критяне – лгуны». Лгал ли он, когда произносил это? Или он говорил правду? Любой ответ противоречив. Это был первый из нескольких парадоксов логики, поставивших в тупик греческих философов и математиков. Если Пифагор слышал будоражившее умы изречение Эпименида, он наверняка почувствовал опасность для некоторых своих утверждений. Казалось, что парадокс, словно угорь, проскальзывает сквозь ячейки сети дедуктивного рассуждения. Было ли дедуктивное рассуждение настолько сильно и могуче, насколько считал Пифагор?

Возможно, что науке и математике будущего повезло в том, что Пифагор либо совсем не услышал Эпименида, либо проигнорировал его слова. В противном случае все коварные противоречия логики, а среди них и «парадокс Эпименида», которые проявятся в основах математики к концу XIX века н. э., удержали бы Пифагора от закладывания краеугольного камня в основание всей математики в VI веке до н. э.