Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

К сожалению, в отличие от бесконечных рядов, любая книга, в том числе и эта, должна когда-то заканчиваться. Лезть дальше бесконечности мы, пожалуй, не осмелимся, а остановимся прямо здесь. Впрочем, у меня для вас припасено еще одно матемагическое блюдо.

На бис: магические квадраты

Уверен, этот десерт вам понравится. С бесконечностью он никак не связан, зато магия здесь содержится прямо в официальном названии – разве можно просто взять и пройти мимо? Магическим называется такой квадрат, в котором все значения по горизонтали, вертикали и диагонали дают в сумме одно и то же число. Самый известный такой квадрат – размером 3 на 3 – изображен чуть ниже. Все содержащиеся в нем числа суммируются до 15.

Мало кто знает, но этот квадрат обладает одним уникальным свойством, которое я бы назвал «квадратно-палиндромическим». Если представить каждую горизонталь или вертикаль как трехзначное число, а потом сложить их квадраты, получим

492² + 357² + 816² = 294² + 753² + 618²

438² + 951² + 276² = 834² + 159² + 672²

То же происходит и с большими диагоналями:

456² + 312² + 897² = 654² + 213² + 798²

Магические квадраты магического квадрата!

Самый простой квадрат размером 4 на 4 включает в себя числа от 1 до 16, которые суммируются до 34 (см. ниже). Математики и фокусники очень любят квадраты 4 на 4: они дают нам десятки способов прийти к волшебному результату. Например, в нашем квадрате итоговое число 34 дают не только горизонтали, вертикали и диагонали, но и каждый внутренний сектор размером 2 на 2 (например, левый верхний (8, 11, 13, 2), центральный (2, 7, 16, 9) или «разнесенный» по углам (8, 1, 10, 15)) и большие диагонали.

У вас есть любимое двузначное число больше 20? Можно создать для него (обозначим его буквой T) свой магический квадрат из чисел от 1 до 12 и чисел T – 18, T – 19, T – 20 и T – 21.

Следующий наш пример основан на T = 55. Каждая четверка величин, ранее суммировавшихся до 34, дает нам 55, если в нее входит ровно одно (и ни в коем случае не два и не ноль) значение с переменной T – именно поэтому правый верхний сектор нам подходит (35 + 1 + 7 + 12 = 55), а средний левый – нет (34 + 2 + 3 + 37 ≠ 55).

Впрочем, даже если у вас нет любимого двузначного числа, то уж день рождения есть наверняка – а значит, теперь вы сможете создать свой личный магический квадрат! Воспользуемся моим методом «двойного дня рождения» – дорогая вам дата здесь появляется дважды: в верхней горизонтали и в четырех углах. Я обозначу взятые вами числа буквами A, B, C и D, чтобы наглядно показать, что именно у вас должно получиться. Как и в любом магическом квадрате, и горизонтали, и вертикали, и диагонали, и большинство симметрически расположенных внутренних секторов будут иметь сумму A + B + C + D.

Моя мать, например, родилась 18 ноября 1936 года, значит, ее личный магический квадрат выглядит вот так:

А теперь ваш день рождения. Следуя закономерности, указанной выше, вы получите свою личную сумму больше 30 раз – попробуйте посчитать сами.

Если же вам и этого мало, вот вам способы создать более крупные магические квадраты – например, квадрат размером 10 на 10, в который входят все числа от 1 до 100:

Сможете прикинуть, чему равна сумма чисел в каждой горизонтали, вертикали или диагонали, при этом их не складывая? Конечно же, сможете: много-много страниц назад мы доказали, что сумма всех чисел от 1 до 100 равна 5050, каждый же ряд составляет одну десятую от этого количества, то есть 5050/10 = 505.

Правда, забавно? Мы заканчиваем тем же, чем и начинали. Спасибо за то, что прошли со мной весь этот путь! И поздравляю! Сколько матемагических фокусов мы увидели, сколько способов решения задач открыли, сколько всего нового узнали! Уверен, все это пригодится вам еще не раз, и надеюсь, что идеи, о которых рассказано в этой книге, показались вам полезными, интересными и магическими!

Итого

Я и вправду надеюсь, что это не последняя книга по математике, которую вы читаете. Ведь в меню еще столько вкусного – столько всего, о чем не узнаешь на уроках в школе.

«Магия математики» родилась в процессе работы над видеокурсом «Математическое удовольствие», выпущенным в серии «Лучшие курсы». Он состоит из 24 получасовых лекций – в них я так или иначе касаюсь тех тем и проблем, которые мы обсуждали в этой книге. Но есть там и многое другое, не менее интересное: загадки вероятности, математические игры… и, конечно, еще больше магии! Не описать словами, насколько я благодарен издателям курса за то, что позволили мне использовать его материалы для создания этой книги.