Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

Отступление

Тот же комбинаторный принцип доказывает, что, если посчитать сумму каждого второго числа в ряду n, у нас получится 2^n–1. В этом нет ничего удивительного, когда мы берем нечетные ряды, вроде пятого, где числа, которые мы складываем (1 + 10 + 5), совпадают с теми, которые мы пропускаем (5 + 10 + 1). Поэтому-то у нас и получается ровно половина от 2n. Но ведь это работает и в четных рядах. Например, в четвертом: 1 + 6 + 1 = 4 + 4 = 2³. Обобщая, мы можем утверждать, что в любом ряду n ≥ 1

Почему? Левая сторона считает вазочки с четным количеством шариков мороженого (при ассортименте из n сортов и при условии, что в своем выборе мы не повторяемся). Но ту же вазочку можно получить, просто выбрав сорта от 1 до n – 1. У нас есть 2 варианта выбора для первого сорта (берем или нет), 2 – для второго и т. д., вплоть до сорта n – 1. Но вот для самого последнего сорта выбора у нас нет (вернее, только один) – мы же хотим, чтобы общее количество сортов было четным. Значит, и четное количество вазочек будет равно 2^n–1.

Если представить треугольник Паскаля как прямоугольный, можно увидеть еще больше закономерностей. Первый (или 0) столбец состоит из одних единиц, второй (или 1) – из положительных целых 1, 2, 3, 4 и так далее. Третий (или 2) столбец, начинающийся с 1, 3, 6, 10, 15… тоже нам хорошо знаком, ведь это треугольные числа, с которыми мы уже сталкивались в главе 1. Они также могут быть представлены как

Значит, столбик k будет состоять из чисел и т. д.

А теперь смотрите, что произойдет, когда мы сложим между собой несколько первых чисел любого столбца. Возьмем, например, первые 5 чисел 3 столбца (см. ниже). Получаем 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 – число, которое видим справа по диагонали от 15. Другими словами,

Называется эта закономерность правилом хоккейной клюшки, ведь форма обводки складываемых чисел, входящих в Паскалев треугольник, вместе с их суммой напоминает именно этот спортивный снаряд. Чтобы понять, на чем эта закономерность основана, представим себе хоккейную команду из семи игроков. У каждого на свитере порядковый номер: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Сколько можно составить троек для проведения тренировки?

Поскольку порядок не важен, у нас получится А теперь давайте попробуем найти ответ на эту задачу, разбив ее на несколько поменьше. Во сколько троек будет входить игрок под номером 7? Иными словами, в каком количестве тренировок будет мелькать свитер с самым большим номером? Так как одно место в тройке занято семеркой, на остальные два места у нас остается вариантов. Идем дальше. Сколько тренировок посетит хоккеист с цифрой 6 на свитере? Включаем в свою задачу 6, исключаем из нее 7 и получаем вариантов для двух «вакансий». Точно так же нужно будет посчитать вариантов для номера 5,  – для номера 4 и  – для номера 3. Так как самыми большими числами могут быть 3, 4, 5, 6 или 7, мы просчитали все возможные варианты, поэтому тройка может быть сформирована способами – и это то же число, что было обозначено в левой части предыдущего уравнения. Обобщая, можно сказать, что

Давайте используем эту формулу для решения важной задачи, которая, без сомнения, заботит ваш ум каждый год во время новогодних каникул. Возьмем за основу популярную английскую народную песенку «Двенадцать дней Рождества»[13]: в первый день ваша настоящая любовь подарила вам 1 подарок (куропатку). На второй день – 3 подарка (куропатку и 2 горлиц). На третий – целых 6 (куропатку, 2 горлиц и 3 курочек). И так далее. Вопрос: сколько подарков у вас будет через 12 дней?

На n-ный день вы будете счастливым обладателем

подарков (получилось это из нашей суперполезной формулы для треугольных чисел или из правила клюшки при k = 1). Так вот, первый день – подарок, второй день – подарка и т. д., вплоть до 12-го дня, в который вы получите подарков. А правило хоккейной клюшки приводит нас к общему их количеству:

То есть если открывать по подарку каждый день – вам хватит их почти до конца года (ну, один можно пропустить в день рождения)!