Мальчик на берегу океана

Такие сравнения, возможно, придут в голову тому, кто захочет вновь разобраться в злосчастной распре Ньютона и Лейбница. В действительности, однако, дело происходило иначе. Совершив одно и то же открытие, противники не знали друг о друге. Более того, не сразу стало ясно, что это в самом деле одно и то же открытие. К идее математического анализа его творцы пришли разными путями, пользовались разной терминологией. (Уже это само по себе опровергает сплетню, родившуюся впоследствии, будто немец похитил открытие у англичанина и выдал за свое.) Но и поняв, в чем дело, они не собирались ссориться. Противниками их сделали посторонние обстоятельства и посторонние, случайные люди. Лишь постепенно и не без усердия ложных друзей возникло взаимное недоверие, родилась подозрительность, вспыхнула яростная вражда.

Отголоски этой вражды слышались вплоть до начала нашего века. Двести лет продолжались дебаты сторонников Ньютона и адвокатов Лейбница. И лишь недавно, в итоге долгих и кропотливых розысков, спор был решен окончательно. Вничью. Никто не выиграл — или, лучше сказать, выиграли оба.

ДВЕ ЗАДАЧИ

Ньютон изобрел Исчисление, решая проблему движения; именно так была озаглавлена, как мы помним, его рукопись, составленная в Вулсторпе шестнадцатого мая 1666 года: «То resolve problems by motion following propositions are sufficient» («Чтобы решать задачи, связанные с движением, достаточно следующих предложений»). К созданию новой математики его привела физическая задача. Это был естественный для него путь — ведь Ньютон был прежде всего физиком.

Лейбница занимала другая задача — геометрическая. И в этом тоже нет ничего удивительного: геометрия была традиционной, самой разработанной частью математики, «геометрическое» мышление было унаследовано от древних, и абстрактные математические идеи рождались из наглядных геометрических образов. Задача Лейбница формулировалась так: провести касательную к произвольной кривой.

Как и определение скорости по времени и пути, она кажется на первый взгляд совсем простой. Достроить касательную к данной точке кривой — значит провести через эту точку прямую линию так, чтобы она нигде больше не пересекалась с кривой. Возьмем любую кривую и проведем прямую (секущую) через две ее точки. Теперь представим себе себе, что одна из этих точек движется вдоль кривой, постепенно приближаясь ко второй точке. Соответственно этому начнет перемещаться, поворачиваясь вокруг неподвижной точки, и секущая. Расстояние между точками будет уменьшаться и, наконец, станет меньше любой сколь угодно малой величины. Секущая превратится в касательную.

Итак, провести касательную — это значит провести прямую, соединяющую две бесконечно близкие точки кривой. Вдумавшись в это определение Лейбница, мы поймем, почему такой ход мыслей должен был привести его к тем же выводам, к каким пришел, сидя в своей деревне, Ньютон. Линия — это совокупность бесконечного количества точек, или, если угодно, сумма бесконечно малых отрезков, соединяющих две соседние точки. Прямая линия имеет одно определенное направление, то есть как бы является касательной к самой себе; прямая — это кривая с нулевой кривизной. Кривая же постоянно меняет свое направление, причем это изменение происходит в каждой точке. Направление кривой в любой ее точке указывает касательная, проведенная к этой точке. Допустим, что наша кривая — это график некоторой функции, например график пути в зависимости от времени. Тогда изменение кривизны в каждой точке, или, что то же самое, изменение угла наклона касательной к оси абсцисс, будет соответствовать изменению скорости в каждый момент времени.

В биографиях творцов науки не принято пользоваться математическими выкладками. Давайте нарушим эту традицию и набросаем простенький чертеж.

Возьмем две точки А и В на графике функции S = f(t), проведем касательную в точке А и построим прямоугольный треугольник ABC, катеты которого параллельны осям координат и соответствуют приращениям времени t и пути S. Мы видим, что если бы, начиная с точки А, график не менял своего направления и превратился в касательную — то есть если бы движение стало равномерным, — то приращение времени осталось бы тем же, а приращение пути несколько бы уменьшилось. Но чем меньше промежуток от А до В, тем гипотенуза AD меньше отличается от истинного графика АВ и тем меньше разница между приращением функции ВС и его линейной частью CD (эта линейная часть называется со времен Лейбница дифференциалом функции, а приращение АС — дифференциалом независимой переменной). Теперь мы можем сказать, что́ на этом чертеже соответствует производной, то есть скорости, — это тангенс угла DAC. Когда расстояние между двумя точками становится бесконечно малым, криволинейный график совпадает с касательной, приращение пути с дифференциалом пути, средняя скорость движущегося тела с истинной.