Маленькая книга о большой теории струн

В предыдущей главе я упоминал о D0-бранах, представляющих собой точечные частицы. D1-браны похожи на струны, протяжённые в одном измерении. Они могут замыкаться на себя, образуя петли, и способны, подобно струнам, перемещаться в любом направлении. Как и струны, D1-браны способны вибрировать и подвержены квантовым флуктуациям. Dp-браны имеют протяжённость в p пространственных измерениях, они существуют как в 26-мерной теории струн, так и в 10-мерной теории суперструн. Как я объяснял в главе 4, 26-мерная теория струн страдает ужасным недугом: струнными тахионами, вносящими в теорию нестабильность. Аналогичная нестабильность присуща в 26-мерной теории струн и D-бранам, а вот 10-мерная теория суперструн подобной нестабильностью не страдает. В оставшейся части книги я буду говорить преимущественно о теории суперструн.

Многое можно понять о D-бранах, изучая их симметрию. До сих пор я весьма вольно обращался со словом «симметрия», и, по-видимому, настало время объяснить, что конкретно физики понимают под симметрией. Круг является симметричной фигурой. Квадрат тоже. Но круг более симметричен, чем квадрат, — сейчас объясню почему. Если повернуть квадрат на 90°, то он совпадёт сам с собой. Круг же совпадает сам с собой при повороте его на любой произвольный угол. Выходит, что существует гораздо больше различных способов повернуть круг, которые отображают его самого на себя. Вот это и означает, что круг более симметричен, чем квадрат. Когда что-то выглядит одинаково, если смотреть на него с разных сторон, это и означает, что это что-то обладает симметрией.

Физики, а особенно математики, оперируют более абстрактным определением симметрии. Они используют понятие группы симметрии. Поворот окружности, скажем, на 90° вправо соответствует «элементу» группы. Таким элементом является поворот на 90° по часовой стрелке. Необязательно оперировать окружностью, чтобы ухватить идею поворота на 90°. Предположим, что мы просто идём пешком. Любой человек понимает, что значит «повернуть направо», — обычно под этим подразумевается изменение направления движения на 90° по часовой стрелке. Мы можем говорить о повороте направо безотносительно к конкретному перекрёстку. Точно так же любой понимает, что поворот налево — это действие, противоположное повороту направо. Если вы пойдёте на север по 8-й авеню, повернёте направо на 26-ю стрит, а затем повернёте налево на 6-ю авеню, то направление вашего движения после этого будет таким же, как и в начале пути: на север.

Поворот круга на любой угол переводит его самого в себя. Поворот квадрата на 90° также переводит его самого в себя, а перевод на произвольный угол — нет

Соглашусь, что не всё будет как раньше. Раньше вы шли по 8-й авеню, а теперь идёте по 6-й. Но предположим, что вы отслеживаете только направление движения, тогда действительно поворот налево является действием, обратным повороту направо, и будет отменять его подобно тому как прибавление −1 к 1 даёт 0.

Есть ещё одна особенность правых и левых поворотов, соответствующих вращению на 90°. Три последовательных правых поворота эквивалентны одному левому повороту, а после четырёх правых поворотов вы возвращаетесь к первоначальному направлению движения. Сложение поворотов радикально отличается от сложения чисел. Обозначим правый поворот числом 1, а левый — числом −1. Два правых поворота дадут 1 + 1 = 2. Два правых и один левый поворот дадут 1 + 1 − 1 = 1, что соответствует одному правому повороту. Пока всё хорошо, но четыре правых поворота эквивалентны отсутствию поворота, и мы должны записать их как 1 + 1 + 1+1 = 0. Это уже не очень хорошо. Приведённый пример иллюстрирует отличие арифметики поворотов от обычной арифметики. Всё, что следует знать о группе, — это как правильно складывать её элементы. Ну, не совсем всё. Помимо операции сложения нам понадобится ещё операция взятия обратного элемента. Обратным элементом правого поворота является левый поворот. Обратный элемент отменяет все действия элемента группы, к которому он является обратным.

Существует определённое сходство между тем, о чём я только что рассказал, и тем, что говорилось в предыдущей главе о порождении струнами пространства-времени. Тогда я начал с представления мирового листа струны в виде абстрактной поверхности и показал, что его можно рассматривать как движение струны в пространстве-времени. Здесь же я представляю группу в виде абстрактного набора элементов, а затем определяю, как эти элементы действуют на конкретный объект: квадрат, круг или движущийся автомобиль.