Маленькая книга о чёрных дырах

Подобным образом можно описать и сокращение длины. Теперь вместо надоевших уже прогулок в поездах давайте представим себе, что Боб, Билл и Алиса едут на Олимпиаду, где Алиса надеется установить мировой рекорд по прыжкам с шестом. Ее секрет в том, что она умеет очень быстро бегать: со скоростью в 87 % скорости света! (Почему-то она при этом не хочет отбирать лавры Усейна Болта на стометровке, хотя знает, что эту дистанцию она преодолеет менее чем за 0,4 микросекунды.) У Алисы шест длиной 6 метров – это длиннее, чем у большинства прыгунов, но что поделаешь, она во всем исключительная. Боб и Билл не верят, что у Алисы такой длинный шест, и они решают измерить его, пока Алиса разбегается для прыжка, держа при этом свой шест строго горизонтально. Ясное дело, задача у них непростая. Как им провести свои измерения? Вот что они придумали: во-первых, они опять синхронизуют свои часы. Затем они становятся на расстоянии немного меньше шести метров друг от друга и договариваются, что точно в одно и то же время, когда Алиса будет пробегать мимо них, они посмотрят на нее и отметят, какую точку шеста видит каждый. После многих попыток им удается добиться такого положения, при котором Боб видит конец шеста в тот момент, когда Билл видит его острие. Они измеряют расстояние между собой, и оказывается, что они стоят всего в 3 метрах друг от друга, из чего они разумно заключают: длина шеста Алисы всего 3 метра. Но когда они подходят к Алисе и рассказывают ей об этом, та возражает. Позвав на помощь двух своих друзей Аллана и Авери, которые бегут рядом с ней (а они такие же замечательные спринтеры, как и сама Алиса), и измерив длину шеста в своей собственной системе координат, она подтверждает, что эта длина равна 6 метрам.

Снова заметим, что в этой ситуации система А является привилегированной, так как именно в ней шест Алисы покоится. Назовем его длину, измеренную в системе А, собственной длиной. Длина шеста, измеренная в системе Б, всегда меньше, и мы будем ее называть сокращенной длиной. Замедление времени и сокращение длины тесно связаны, как можно видеть из следующего примера. Когда Алиса бежит по гаревой дорожке к планке, в ее собственной системе отсчета у нее уходит на это вдвое меньше времени, чем то, которое Боб и Билл могли бы измерить способом, о котором мы уже рассказывали при описании поездки Алисы в Нью-Йорк. Получается, что при рекордной скорости Алисы в 87 % скорости света время замедляется вдвое. Во столько же раз сокращается и длина: наблюдатели в системе А говорят, что длина шеста 6 метров, а в системе Б он всего лишь трехметровый. В общем, время замедляется, а длина сокращается всегда в одинаковое количество раз: этот множитель иногда называется множителем Лоренца, или Лоренц-фактором.

Наше обсуждение специальной теории относительности, которое сосредоточилось на геометрии пространства-времени, пока что никак не связано со знаменитым уравнением E = mc². Попробуем найти такую связь, рассмотрев частный случай вывода этого уравнения, в котором все главные шаги можно будет проиллюстрировать геометрически. Этот случай мы называем частным, потому что он требует приближений и формул, которые мы не можем сейчас строго обосновать или вывести.

Сначала давайте сформулируем на языке уравнений, что такое масса. Лучше всего сделать это с помощью уравнения p = mv, где p – импульс, или количество движения, а v – скорость медленно движущегося массивного тела, масса которого равна m. Соотношение p = mv прямо вытекает из механики Ньютона, и мы можем спокойно им пользоваться, пока v гораздо меньше скорости света. Следующий шаг – найти какое-то выражение для энергии. Здесь нам придется принять без доказательства еще один результат теории электромагнетизма: количество движения светового импульса p связано с энергией света E уравнением. Как мы уже выяснили, световые импульсы отличаются тем, что всегда движутся с одной и той же скоростью, независимо от системы отсчета. Это совсем не похоже на поведение массивных объектов. В данной системе отсчета массивные объекты могут либо стоять на месте, либо двигаться с некоторой скоростью v, которая, в соответствии со специальной теорией относительности, всегда меньше скорости света.

Пусть теперь мы знаем количество движения массивного объекта p = mv и светового импульса. Но было бы неверно сказать, что это одна и та же величина: ведь массивный объект не то же самое, что световой импульс! Вместо того чтобы приравнять эти значения друг другу, надо подумать, как создать массивный объект из световых импульсов, – тогда мы сможем использовать наши уравнения количества движения для вывода соотношения E = mc².