Масштаб. Универсальные законы роста, инноваций, устойчивости и темпов жизни организмов, городов, экономических систем и компаний

Я привел упрощенное описание этой методики: на самом деле в задачу обычно входят и другие параметры, аналогичные числу Фруда, которые позволяют прямо учесть другие динамические эффекты, например вязкость воды. Тем не менее этот пример иллюстрирует суть метода Фруда и дает общий шаблон для теории моделирования и масштабирования. Он знаменует переход от примитивного метода проб и ошибок, использования кустарных способов, которые верой и правдой служили нам в течение тысячелетий, к более аналитической, научно обоснованной стратегии решения проблем и конструирования самых разнообразных современных изделий, от компьютеров и кораблей до самолетов, зданий и даже компаний. Бассейны, подобные созданным Фрудом, до сих пор применяются для изучения поведения судов, а разработанные на их основе аэродинамические трубы, оказавшие сильное влияние на братьев Райт, играют аналогичную роль в проектировании самолетов и автомобилей. В центре процесса проектирования находятся теперь замысловатые процедуры компьютерного анализа, в которых для оптимизации работы той или иной конструкции используются принципы все той же теории масштабирования. Выражение «компьютерная модель» прочно вошло в наш словарь. Благодаря им мы сейчас можем «решать» уравнения Навье – Стокса или аналогичные им задачи – или моделировать их решения, – что повышает точность наших предсказаний.

Одно из забавных и непреднамеренных последствий этого прогресса состоит в том, что, например, почти все современные автомобили стали похожи друг на друга, потому что их производители, оптимизируя сходные рабочие параметры, решают одни и те же уравнения. Лет пятьдесят назад, когда такие большие вычислительные мощности еще не были доступны и, следовательно, точность прогнозирования была ниже, а мы меньше заботились об экономии топлива и уровне выброса отработанных газов, конструкции автомобилей были гораздо более разнообразными – и потому гораздо более интересными. Сравнить хотя бы «студебекер-хоук» 1957 г. или «роллс-ройс» 1927 г. с относительно скучной на вид «хондой-сивик» 2006 г. или «теслой» 2014 г., хотя последние машины и обладают гораздо лучшими рабочими характеристиками.

11. Сходство и подобие: безразмерные и масштабно-инвариантные числа

Развитие методики масштабирования, предложенной Фрудом, превратило ее к настоящему времени в мощный и сложный элемент инструментария науки и техники, в высшей степени эффективно используемый для решения широчайшего спектра задач. В общем виде эта методика была формализована лишь в начале ХХ в., когда выдающийся специалист по математической физике лорд Рэлей опубликовал в журнале Nature важную статью под названием «Принцип подобия» (The Principle of Similitude)[43]. Этим термином он обозначал то, что мы называем теорией масштабирования. Главным образом он подчеркивал ту важнейшую роль, которую играют в любой физической системе особые величины, обладающие свойством безразмерности. Речь идет о сочетаниях переменных, подобных числу Фруда, значение которых остается неизменным независимо от используемой системы единиц измерения. Позвольте мне рассказать о них поподробнее.

Большинство величин, которые мы привыкли измерять в повседневной жизни, – например, расстояние, время или давление – зависит от того, в каких единицах их измеряют: например, в метрах, секундах, паскалях и так далее. Однако одну и ту же величину можно измерить в разных единицах: например, расстояние от Нью-Йорка до Лос-Анджелеса равно 3210 милям, но его же можно выразить в виде 5871 км. Эти разные числа выражают одно и то же. Точно так же расстояние от Лондона до Манчестера можно выразить в виде 278 миль или 456 км. Однако отношение расстояний между Нью-Йорком и Лос-Анджелесом и между Лондоном и Манчестером (будь то 3210 миль / 278 миль или 5871 км / 456 км) остается неизменным (и равным 14,89) независимо от того, какие используются единицы измерения.

Это дает нам простейший пример безразмерной величины: это «чистое» число, не изменяющееся, когда для его измерения используется другая система единиц. Такая масштабная инвариантность отражает некое абсолютное качество тех величин, которые представляют такие числа: они не зависят от произвольно выбранных человеком единиц и методов измерения. Конкретные единицы измерения придуманы человеком для удобства выражения мер стандартизованным языком, в особенности когда речь идет о строительстве, торговле и обмене товарами и услугами. Более того, введение стандартизованных мер отмечает важнейший этап развития цивилизации и возникновения городов, так как они были абсолютно необходимы для создания надежной политической системы, подчиняющейся верховенству законов.