Масштаб. Универсальные законы роста, инноваций, устойчивости и темпов жизни организмов, городов, экономических систем и компаний

Вот и все: Галилей чуть ли не четыреста лет назад предугадал наши параноидальные фантазии о гигантских муравьях, жуках, пауках и тех же самых Годзиллах, столь ярко изображаемые в комиксах и фильмах, а затем самым блестящим образом продемонстрировал их физическую невозможность. Точнее говоря, он показал, что реально достижимая величина всех этих существ ограничена некими фундаментальными пределами. Так что многочисленные образы научной фантастики в области фантастики и остаются.

Рассуждение Галилея отличается элегантностью и простотой, но имеет при этом весьма глубокие следствия. Кроме того, оно служит превосходным введением во многие из тех концепций, которые мы будем рассматривать в следующих главах. Оно состоит из двух частей: геометрического доказательства, демонстрирующего, как масштабируются площадь и объем любого объекта при увеличении его размеров (рис. 5), и инженерного доказательства, показывающего, что прочность колонн, поддерживающих здания, конечностей, на которые опираются животные, или стволов деревьев пропорциональна площади их поперечного сечения (рис. 6).

В следующей рамке приведен общедоступный вариант первого из этих доказательств, показывающего, что если форма объекта неизменна, то при увеличении его размеров все его поверхности увеличиваются пропорционально квадрату, а все его объемы – пропорционально кубу линейных размеров.

Рассуждение галилея о масштабировании поверхностей и объемов

Для начала рассмотрим простейший геометрический объект, например квадратную плитку, и представим себе ее увеличение до большего размера (см. рис. 5). Например, предположим, что длина ее стороны равна 1 м, то есть ее площадь, полученная перемножением длин смежных сторон, равна 1 м × 1 м = 1 м². Если удвоить длины всех ее сторон, увеличить их с 1 до 2 м, то площадь плитки увеличится до 2 м × 2 м = 4 м². Точно так же, если длины сторон утроить (увеличить до 3 м), площадь возрастет до 9 м² – и так далее. Общее правило очевидно: площадь возрастает пропорционально квадрату длины.

Это соотношение остается справедливым не только для квадратов, а для любой двумерной геометрической фигуры, если ее форма остается неизменной при одинаковом увеличении всех линейных размеров. Простой пример дает круг: например, при удвоении его радиуса площадь круга увеличивается в 2 × 2 = 4 раза. В более общем случае удвоение всех линейных размеров вашего дома при сохранении неизменными его формы и конфигурации приведет к увеличению площадей всех поверхностей, например стен и полов, в четыре раза.

Эти же рассуждения можно простым образом перенести на объемы. Для начала рассмотрим простой куб: если длины всех его сторон увеличить в два раза, например с 1 м до 2 м, то его объем увеличится с 1 м³ до 2 × 2 × 2 = 8 м³. Аналогичным образом, если эти длины увеличить втрое, объем возрастет в 3 × 3 × 3 = 27 раз. Как и в случае площади поверхностей, это правило можно обобщить на случай любых объектов произвольной формы, если она сохраняется неизменной, и заключить, что при увеличении любого объекта его объем возрастает пропорционально кубу его линейных размеров

Рис. 5. Иллюстрация масштабирования объемов и площади поверхностей для простейшего случая квадратов и кубов