Математические головоломки профессора Стюарта

Один из вариантов этой головоломки – концепция самовлюбленного числа, которое определяется как число, равное сумме n-х степеней составляющих его десятичных цифр для некоторого n. Если речь идет о явно заданном n, используется термин n-совершенное число.

Четвертые степени цифр (4-самовлюбленные числа)

Будем записывать число, составленное из цифр a, b, c, d, как [abcd], чтобы отличать его от соответствующего произведения abcd. То есть [abcd] = 1000a + 100b + 10c + d. Мы должны решить уравнение:

[abcd] = a⁴ +b⁴ +c⁴ + d⁴,

где все неизвестные являются целыми числами и лежат в диапазоне от 0 до 9. Эту задачу никак нельзя называть тривиальной. Попробуйте!

Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Пятые степени цифр (5-самовлюбленные числа)

На этот раз задача состоит в том, чтобы решить уравнение:

[abcde] = a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵+ e⁵,

что, как несложно догадаться, еще труднее.

Ответ в главе «Загадки разгаданные».

Более высокие степени цифр (n-самовлюбленные числа для n ≥ 6)

Несложно доказать, что n-самовлюбленные числа существуют только для n ≤ 60, поскольку при любом n > 60 мы имеем n·9ⁿ < 10^n–1. В 1985 г. Дик Уинтер доказал, что существует ровно 88 самовлюбленных чисел с ненулевой первой цифрой. Для n = 1 в этой роли выступают все десять цифр (мы включаем сюда 0, потому что в данном случае это единственная цифра числа). Для n = 2 самовлюбленных чисел не существует. Для n = 3, 4, 5 см. ответы к разделу о цифровых кубах и две предыдущие задачи. Для n ≥ 6 получаем следующие числа:

Пифилология, пиэмы и пиллиш

Now, I wish I could recollect pi.

«Eureka», cried the great inventor.

Christmas pudding; Christmas pie

is the problem's very centre.

See, I have a rhyme assisting

my feeble brain,

its tasks sometimes resisting.

How I wish I could enumerate pi easily, since all these horrible mnemonics prevent recalling any of pi's sequence more simply.

Последняя фраза выдает нас с головой: все приведенные фразы – это мнемонические правила – тексты, помогающие запомнить часть числа π. Придумано даже слово для подобных вещей: пифилология. Чтобы воспользоваться таким мнемоническим правилом, нужно сосчитать буквы в последовательных словах: 3, 1, 4, 1, 5, …

Некоторые из многочисленных запоминалок для π обсуждались в книге «Кабинет…»; здесь мы вспомним одну из них (приведенную ниже запоминалку на французском языке) и посмотрим еще несколько. Вообще, таких запоминалок существует множество, см., к примеру, сайты:

http://en.wikipedia.org/wiki/Piphilology

http://uzweb.uz.ac.zw/science/maths/zimaths/pimnem.htm

Одно из самых известных мнемонических правил для π – александрийский стих (поэтический размер), который начинается так:

Que j'aime à faire apprendre
Un nombre utile aux sages!
Glorieux Archimède, artiste ingenieux,
Toi, de qui Syracuse loue encore le mérite! –

и продолжается до 126 знаков. Я особенно рекомендую следующую португальскую запоминалку:

Sou o medo e temor constante do menino vadio. (Я – постоянный страх и ужас для ленивых мальчиков.)

А вот румынский вариант:

Asa e bine a scrie renumitul si utilul numar. (Это правильный способ писать знаменитое и полезное число.)

Он обладает несомненным достоинством понятности и простоты[7].

Стихи, посвященные числу π, называют пиэмами. 32-й знак π равен 0, а слово нулевой длины вставить невозможно. Однако существуют способы обойти это препятствие. В пилише – кодовой системе, обычно используемой для π-мнемоники, за 0 считается десятибуквенное слово. Майк Кейт в «Автореферентной истории»[8] использовал другой набор правил. Это, насколько мне известно, самый длинный образец на сегодняшний день («Книга рекордов Гиннесса» мне свидетель) – это «Cadaeiccadenza» (3834 знака) и книга «NotAWake» (10 000 знаков) того же Кейта. Книга начинается так: