Математические модели в естественнонаучном образовании. Том II

На 5 терминальных таксонов приходится 15 таких деревьев. Таким образом, если не принимать во внимание местонахождение корня, существует на 13 деревьев, которые могут связать 5 гоминоидов, а больше, чем было представлено во введении к главе. Для 6 терминальных таксонов насчитывается более 100 возможных некорневых деревьев. По мере увеличения числа таксонов количество деревьев быстро вырастает до астрономических размеров. В упражнениях найдете точные формулы, определяющие количество некорневых и корневых деревьев, относящихся к  таксонам. Также увидите, насколько велики эти числа, даже для относительно небольшого числа таксонов. Большое количество деревьев вызывает дискомфорт, потому что это означает, что некоторые подходы к поиску хорошего дерева для соотнесения таксонов будут медленными. Если метод находит «лучшее» дерево, рассматривая каждое возможное дерево по отдельности, то его использование будет чрезвычайно трудоемким, когда задействовано много таксонов.

На помощь в решении обозначенной проблемы поиска лучшей классификации приходят метрические деревья. В дополнение к топологической структуре дерево может иметь метрическую структуру; каждому ребру может быть присвоена определенная длина. Эта метрическая структура может быть задана путем записи чисел для обозначения длин рядом с ребрами (см. Рисунок 5.4 (слева)), или ребро может быть наглядно представлено путем рисования дерева с ребрами соответствующей длины, но без их явной нумерации. Таким образом, топологическое дерево и немаркированное метрическое дерево неотличимы друг от друга. Для ясности, будем маркировать ребра их длиной, когда нужно задать метрическое дерево.

Как правило, длины ребер в филогенетическом дереве, построенном из данных последовательности ДНК, каким-то образом представляют собой количество мутаций, которые произошли между расщеплениями линии. Чем длиннее ребро, тем больше последовательность ДНК мутировала в ходе эволюции, которую представляет это ребро.

Если, например, модель Джукса-Кантора замещения оснований адекватно описала эволюцию нескольких таксонов, то длина ребра в дереве, относящемся к ним, может быть расстоянием Джукса-Кантора между последовательностями на двух концах. Как видели в главе 4, это расстояние представляет собой среднее число замен оснований на сайт, произошедших при происхождении новой последовательности. Сюда включены мутации, скрытые другими мутациями, для оценки которых была разработана формула расстояния. Поскольку расстояние Джукса-Кантора является аддитивным и симметричным, общее расстояние между двумя таксонами вдоль дерева должно быть расстоянием Джукса-Кантора между ними.

Если предположение о молекулярных часах справедливо для эволюции связанных последовательностей, то расстояния в дереве имеют постоянное значение. Напомним, что молекулярные часы просто означают, что скорость мутаций постоянна для всех рассматриваемых линий. Если  обозначает скорость мутации, измеряемую, например, в количестве произошедших за год замен оснований на сайт, а  обозначает время в годах, то количество мутаций, которое произойдет в течение этого времени, составляет  базовых замен на сайт.

Таким образом, молекулярные часы означают, что количество мутаций на любом ребре пропорционально прошедшему времени, при этом константа пропорциональности представляет собой постоянную скорость мутации. Если предположить, что существуют молекулярные часы, то независимо от того, рисуем ли длины ребер, представляющие количество мутаций или только прошедшее время, то нарисуем одну и ту же фигуру с точностью до масштаба этой константы.

Если гипотеза молекулярных часов справедлива для корневого метрического дерева, то каждый лист будет расположен на одинаковом общем расстоянии от корня дерева. Это связано с тем, что расстояния от корня пропорциональны времени, прошедшему с тех пор, как таксоны начали расходиться с общим предком. У каждого таксона было одинаковое количество времени, чтобы эволюционировать от корневого предка, поэтому каждый таксон накопит одинаковое количество мутаций.

Без молекулярных часов связь между количеством мутаций вдоль ребра и количеством времени может быть сложной для моделирования. Предположим, что вдоль одного ребра филогенетического дерева частота мутаций была довольно мала, а вдоль другого – частота мутаций была большой. Затем несмотря на то, что оба края могут соответствовать одинаковому количеству времени, вдоль одного из них произойдет значительно больше мутаций. Без получения какой-либо дополнительной информации о скорости мутации – возможно, путем сравнения с летописью окаменелостей – обычно нет способов определения прошедшего времени, связанного с ребрами деревьев.