Математический аппарат инженера

Логические функции могут зависеть от одной, двух и, вообще, любого числа переменных (аргументов) x₁, x₂, ..., x_n. В отличие от самой функции, аргументы могут принимать значения из элементов как конечных, так и бесконечных множеств.

В теоретико-множественном смысле логическая функция n переменных y = f(x₁, x₂, ..., x_n) представляет собой отображение множества наборов (n-мерных векторов, кортежей, последовательностей) вида (x₁, x₂, ..., x_n), являющегося областью ее определения, на множестве ее значений N = {α₁, α₂, ..., α_n}. Логическую функцию можно также рассматривать как операцию, заданную законом композиции X₁, X₂, ..., X_n где - множества, на которых определены аргументы x₁ ∈ X₁, x₂ ∈ X₂, ..., x_n ∈ X_n.

2. Однородные функции. Если аргументы принимают значения из того же множества, что и сама функция, то ее называют однородной функцией. В этом случае X₁ = Х₂ = ... = Х_n = N и однородная функция, рассматриваемая как закон композиции Nⁿ → N определяет некоторую п-местную операцию на конечном множестве N.

Областью определения однородной функции у = f(х₁, х₂, ..., x_n) служит множество наборов (х₁, х₂, ..., x_n), называемых словами, где каждый из аргументов х₁, х₂, ..., x_n замещается буквами k-ичного алфавита {0, 1, ..., k -1}. Количество n букв в данном слове определяет его длину.

Очевидно, число всевозможных слов длины n в k-ичном алфавите равно kⁿ. Так как каждому такому слову имеется возможность предписать одно из k значений множества N, то общее количество однородных функций от n переменных выражается числом k^(kn).

Если буквами алфавита служат числа от 0 до k - 1, то каждое слово (х₁, х₂, ..., x_n) символически представляется упорядоченной последовательностью n таких чисел и рассматривается как запись n-разрядного числа в позиционной системе счисления с основанием k, т. е. x₁k^{n -1} + x₂k^{n –2} + … + x_{n -1}k¹ + x_nk⁰ = q. Числа q = 0, 1, ..., kⁿ - 1 служат номерами слов и тем самым на множестве всех слов вводится естественная упорядоченность (отношение строгого порядка). Аналогично номерами функций можно считать kⁿ -разрядные числа в той же системе счисления.

Различные слова длины n в данном алфавите образуются как n-перестановки с повторениями (2. 10. 1). Так, в трехзначном алфавите {0, 1, 2} словами длины 4 будут все четырехразрядные числа с основанием k = 3, т. е. 0000, 0001, 0002, 0010, 0011, ..., 2221, 2222, которые соответствуют десятичным числам от 0 до 80 = 2 · З³+ 2 · З²+ 2 · З¹ + 2 · 3⁰. Поставив каждому такому четырехразрядному числу в соответствие одну из букв алфавита {0, 1, 2}, получим некоторую функцию четырех переменных

- 505 -

f_i(х₁, х₂, x₃, x₄), причем количество таких функций выражается огромным числом 3⁸¹.

Пусть алфавит состоит из трех букв русского алфавита {о, п, т}. Множество пятибуквенных слов в этом алфавите состоит из 3⁵ = 243 элементов. Наряду с такими имеющими прямой смысл словами, как «топот» и «потоп», оно также включает все другие 5-перестановки, например: «ооппт», «поппп», «тттоп» и др.

Примерами однородных логических функций двух переменных могут служить операции сложения и умножения одноразрядных m-значных чисел по модулю т (2. 8. 7), внутренние операции поля Галуа (2. 8. 9) с четырехзначным алфавитом {0, 1, А, В} и т. п.

3. Табличное задание функций. Как и бинарный закон композиции (2. 7. 2), однородная функция двух переменных может быть задана таблицей соответствия (матрицей), строки и столбцы которой соответствуют буквам алфавита. Таким способом представлялись функции одной и двух переменных в (1. 5. 2),(1. 5. 8) и (1. 5. 10). Для представления функций трех и большего числа переменных потребовались бы трехмерные и, вообще, n-мерные таблицы. Этого можно избежать, если столбцы матрицы поставить в соответствие не буквам алфавита, а словам, т. е. образовать kⁿ столбцов. Для каждой функции отводится строка, клетки которой заполняются буквами из данного алфавита. Матрица всех функций n переменных в k-значном алфавите содержит k^kn строк и называется общей таблицей соответствия. Например, для k = 3 и n = 2 такая матрица имеет вид:

Номера столбцов определяются расположенными над ними n-разрядными числами с основанием k, каждое из которых читается сверху вниз. Номера функций отождествляются с kⁿ-разрядными числами, которые соответствуют строкам матрицы в той же системе счисления.

4. Двузначные однородные функции. Наиболее простым и в то же время важнейшим классом однородных функций являются двузначные (булевы) функции, частично рассмотренные в (1.5. 2) и последующих пунктах.

- 506 -

Областью определения булевых функций от n переменных служит множество слов длины n. Они представляют собой всевозможные наборы из n двоичных цифр и их общее количество равно 2ⁿ.