Математика, Философия и Йога

Вчера вечером я изложил вам две теории о природе математики. Одну называют логицизмом, а другую формализмом; первая связана с именем Рассела, вторая-со школой Гильберта. Существует и третья, современная теория, которую называют математическим интуиционизмом (хотя не очень ясно, почему она получила именно такое название). Это направление было развито, в первую очередь, Брауэром и Вейлем [4], которые заложили важнейшие основы современной математической мысли. Они сомневаются даже в допустимости приложения метода исключения к рассуждениям о бесконечности, хотя большая часть теории бесконечных множеств опиралась на определенные принципы, часто используемые в обычной математике [5]. Иногда случается так, что вы не можете непосредственно доказать некий факт, но при этом знаете, что существует ограниченное количество возможных вариантов -например, только два. Скажем, любое число может быть либо простым, либо не простым. Если не получается непосредственно доказать, что выбранное число является простым, то это можно сделать методом от противного, то есть показать, что оно не является не простым. Брауэр и Вейль считают, что этот принцип, подразумевающий суждение об исключении третьего, становится недопустимым в оценке бесконечных классов. В любом случае, подобное мнение может иметь достаточно важное значение. Однако я хочу показать вам, что среди самих математиков нет общего согласия в отношении окончательной природы того, с чем они имеют дело. То же относится и к логике: в ней все согласны с принципами подробного процесса, с тем, как следует подходить к рассматриваемому вопросу, но возникают расхождения во мнениях об окончательном содержании самого вопроса. Таким образом, мы сталкиваемся с различными взглядами на основополагающий характер самой математики.

Я не вполне уверен в том, что человек, занимающийся только математикой, имеет право на мнение о математике. Я уже цитировал слова Вейерштрасса о том, что математик, в котором нет ни капли поэта, – не настоящий математик. Лично я добавил бы, что математик, в котором нет ни капли философа, не имеет права судить о том, чем он занимается. Я хочу обратиться к тому человеку, который стал одним из двух величайших философов в истории. Я имею в виду Шпенглера, преподавателя математики в гимназии – даже не в университете. Он не был математиком-творцом. Этот человек написал знаменитую книгу «Закат Европы» [6], которая мгновенно подняла на ноги практически весь интеллектуальный мир. Первая после вступления глава его работы посвящена значению чисел, и, по моему мнению, содержание этого раздела проникает в основополагающую сущность математики намного глубже, чем все представленные до сих пор мнения.

Сейчас я зачитаю вам несколько отрывков из книги Шпенглера.

Чтобы наглядно показать тот способ, каким дупла стремится найти свое место в общей картине внешнего мира, – то есть для того, чтобы продемонстрировать, в какой мере Культура в состоянии своего «становления» проявляет или отражает представления о человеческом существовании, – я выбрал понятие числа, изначального элемента, на котором покоится любая математика. Я делаю это по той причине, что математика, доступная во всей своей глубине лишь немногим, занимает совершенно особое место среди всех порождений разума. Это наука самой строгой упорядоченности, и в этом она подобна логике, хотя и является более всеохватной и намного более полной; наряду со скульптурой и музыкой, это подлинное искусство, поскольку требует напутствующего вдохновения и развивается в рамках широких соглашений о формах; это, наконец, метафизика высочайшего уровня, что продемонстрировали Платон и, прежде всего, Лейбниц. Вследствие этого любая философия вырастает в тесном родстве с присущей ей математикой. Число представляет собой повседневно необходимый символ. Подобно концепции Бога, оно содержит в себе окончательный смысл мира как природы. Таким образом, существование чисел можно назвать загадкой, и религиозная мысль любой Культуры испытала на себе их влияние [7].

Итак, в числах как знаках завершенной отделенностн кроется сущность всего действительного, того, что распознано, очерчено четкими границами и становится сразу всем, – Пифагор и некоторые другие смогли увидеть это с полной внутренней убежденностью, вызванной могущественной и подлинно религиозной интуицией [8].

Таким образом, стиль любой зарождающейся математики полностью зависит от той культуры, в которой она возникает, от особенностей народа, над ней размышляющего [9].

Австралийские аборигены, которых относят по интеллектуальному уровню к грубым первобытным народам, обладают математическим инстинктом (или, что то же самое, способностью мыслить числами, еще не выраженными знаками или словами), намного превосходящим греческий в вопросах о толковании чистого пространства. Именно австралийцы изобрели бумеранг, и это можно объяснить только тем, что они владеют уверенным ощущением чисел того класса, для обращения с которым нам требуется прибегать в высшей геометрии [10].