Математика, Философия и Йога

Мы приближаемся к тому вопросу, который выходит за рамки любых определений, – к вопросу об основополагающей сущности математики. В ней выделяют три общепризнанные школы. Одна из них известна как логицизм, и самым видным ее представителем был Рассел. Логицисты считают, что математика – это только логика. Они придерживаются представления о том, что всю ныне известную математику и любые математические направления, которые могут возникнуть в будущем, можно свести к чисто логическому процессу (такому процессу, который можно использовать для программирования технических устройств). Сделать это пока не удалось. Логицизм сталкивается со множеством трудностей, с очень серьезными парадоксами. Например, представим себе множество всех множеств, которые не являются собственными элементами. Входит ли такое множество само в себя [20]? В свое время этот вопрос, то есть задача, был направлен в адрес Пеано [21], который только что завершил двухтомный труд по математической логике. Книга уже была в типографии, но этот вопрос полностью обесценивал ее содержание. Пеано сказал: «Как трудно смириться с тем, что после долгих лет, посвященных научным исследованиям, воздвигнутая вами башня разваливается в один миг». Вы можете сами убедиться в том, что на такой вопрос нельзя ответить ни «да», ни «нет». Этот парадокс возник в рамках самого взгляда на природу математики. Я задумываюсь о том, не попытались ли логицисты сделать ее чрезмерно чистой – в том смысле, что практически отказались от интуиции и свели математику к логическому процессу, который не пользуется интуицией и не испытывает в этом потребности.

Сейчас я попытаюсь подвести всему этому итог. Многие из вас еще не понимают, к чему я веду, но в действительности мы говорим о силах и слабостях, ограничениях чистого мышления, – а такое чистое мышление проявляется именно в математике. Поэтому я надеюсь, что вы не пожалеете о потраченном на понимание этих примеров времени – даже те из вас, у кого нет особых познаний в математике. Кроме того, подобные рассуждения отчасти подготовят нас к некоторым возможным трудностям.

Другой школой математики является формализм, связанный, в частности, с Гильбертом [22]. В отличие от школы Рассела, формализм уделяет особое внимание не логике, а необычным формам геометрии. Когда Евклид [23] писал свои труды по геометрии, он воспользовался рядом предположений, которые назвал «аксиомами», то есть «самоочевидными истинами», чем-то таким, в правильности чего никто не сомневается. В действительности, Евклид представил их в форме постулатов, а не обычных определений (аксиом) [24]. Он начал с этих положений и вывел из них все остальное. Пятая аксиома, известная как аксиома о параллельности [25], выглядит очень сложной. В ней утверждается: если сумма двух внутренних углов по одну и ту же сторону от некой прямой, пересекающей две заданные прямые, равна сумме двух прямых углов, то исходные прямые не пересекаются (см. рис. 10). Это утверждение кажется похожим на теорему, то есть на нечто требующее доказательства, но на самом деле это аксиома. В современных учебниках вы, вероятнее всего, встретите ее в такой формулировке (см. рис. 11): через точку С, не лежащую на прямой АВ, можно провести одну и только одну прямую, параллельную прямой АВ. Так ее описывают в наши дни, а первый вариант представляет собой формулировку Евклида. Поскольку она выглядит похожей на теорему, многие математики пытались доказать ее, опираясь на остальные аксиомы, но потерпели полную неудачу.

ПЯТАЯ АКСИОМА ЕВКЛИДА

Рис.10

Рис. 11

Следующим шагом стала попытка выдвинуть иные предположения. Лобачевский и Больяй [26] независимо друг от друга допустили, что через точку С, не лежащую на заданной прямой АВ, можно провести по меньшей мере две прямые, параллельные АВ. Это означает, что и прямая CD, и прямая СЕ могут не пересечь прямую АВ -нигде, кроме, быть может, бесконечности. Просто предположим, что это правильно. Быть может, мы так не думаем, но дело не в этом. Можно ли, пользуясь этой аксиомой, построить внутренне непротиворечивую геометрию? Да. И это было сделано. В геометрии Лобачевского многие, практически все, положения Евклида, опирающиеся на аксиому о параллельности, выглядят совершенно иначе. Например, все вы знакомы с утверждением о том, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам, но в геометрии Лобачевского эта сумма всегда превышает сто восемьдесят градусов.

Другой математик, Риман [27], примерно в те же годы допустил, что через точку С невозможно провести ни одной прямой, параллельной заданной, то есть любая из них непременно пересечет выбранную прямую АВ на конечном расстоянии от точки С. Это уточнение очень важно. В геометрии Римана движение по любой прямой в одном направлении непременно заставит вас вернуться к исходной точке с другой стороны. Быть может, это противоречит интуитивным представлениям, но в построении такой геометрии тоже нет логических ошибок. Она внутренне непротиворечива.