Математика и искусство

И тем не менее в богатой истории человеческой цивилизации находились люди, бравшие на себя смелость заняться анализом красоты науки. В их числе следует назвать Френсиса Хатчесона (1694-1747), шотландского философа эпохи Просвещения, автора "Исследования о происхождении наших идей красоты и добродетели в двух трактатах". Для нас особый интерес представляет раздел "О красоте теорем" первого трактата Хатчесона "О красоте, порядке, гармонии, целесообразности", начинающийся словами: "Красота теорем, или доказательств правильности всеобщих истин, заслуживает отдельного рассмотрения, поскольку по природе своей она значительно отличается от ранее рассмотренных видов красоты; и, однако, нет такой другой, в которой мы могли бы увидеть такое поразительное разнообразие при единообразии..."

Внимательно читая раздел "О красоте теорем", можно выделить три признака красоты науки, установленых Хатчесоном: 1) красота есть единство в многообразии; 2) красота заключена во всеобщности научных истин; 3) научная красота — это обретение неочевидной истины.

Принцип единства в многообразии Хатчесон считает универсальным эстетическим принципом, равно применимым и к неживой, и к живой природе, и к эстетической оценке науки. Действительно, любая математическая теорема содержит в себе бесчисленное множество истин, справедливых для каждого конкретного объекта, н0 в то же время эти конкретные истины собраны в единой общей для всех истине, устанавливаемой теоремой. Например, теорема Пифагора справедлива для бесчисленного множества конкретных прямоугольных треугольников, но все это многообразие треугольников обладает единственным общим свойством, описываемым теоремой. Вероятно, каждый школьник испытывал чувство радости, чувство научной красоты, когда впервые обнаружил, что, например, переместительное свойство сложения, замеченное им на множестве конкретных арифметических примеров, есть не что иное, как единый универсальный закон алгебры: a+b = b+a, справедливый для любых чисел.

Перейдем ко второму признаку красоты — всеобщности научных истин. "У теорем,- читаем мы у Хатчесона,- есть еще одна красота, которую нельзя обойти и которая состоит в том, что одна теорема может содержать огромное множество следствий, которые легко из нее выводятся. .. Когда исследуют природу, подобной красотой обладает познание определенных великих принципов или всеобщих сил, из которых вытекают бесчисленные следствия. Таково тяготение в схеме сэра Исаака Ньютона... И мы наслаждаемся этим удовольствием, даже если у нас нет никаких перспектив на получение какой-либо иной выгоды от такого способа Дедукции, кроме непосредственного удовольствия от созерцания красоты". Как точно сказано! И как чутко предвидит Хатчесон в 1725 г. могущество закона тяготения Ньютона, который пока еще называется "схемой Ньютона": ведь прощло только 38 лет со дня его опубликования (1687) — срок не столь уж большой для осознания столь грандиозного открытия!

Математика: прекрасное в науке

Каждый может проиллюстрировать эту мысль Хатчесона своими примерами: в математике — это любая из теорем, например теорема Пифагора, в физике — закон тяготения или законы электромагнетизма, в химии — периодический закон Менделеева, в биологии — законы генетики, всеобщность которых мы постигаем на самих себе. Возвращаясь к теореме Пифагора, заметим, что существование около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т. д.) свидетельствует об огромном числе конкретных реализаций этой теоремы и ее следствий.

Наконец, третий признак — обретение неочевидной истины. Любой из нас согласится с тем, что постижение очевидной истины (ее символом стало утверждение, что дважды два — четыре) не доставляет ему эстетического наслаждения. В аксиомах мало красоты, утверждает Хатчесон, ибо их справедливость очевидна. Немного удовольствия доставляют нам и легкие теоремы, истинность которых видна "невооруженным глазом". Только открытие истин, спрятанных от нас наукой или природой, открытие, требующее поиска и серьезных усилий, доставляет нам в конце пути истинное наслаждение — познание неведомой истины. В этом и состоит радость и красота познания. Свою мысль Хатчесон подтверждает интересным примером. Ясно, что объем цилиндра больше объема вписанного в него шара, объем которого больше объема конуса, вписанного в цилиндр. Это очевидная истина, не приносящая нам никакого удовлетворения. Но когда мы установим, что объемы этих тел относятся как 3:2:1, т. е. когда мы обретем неочевидную истину, мы почувствуем, как прекрасна эта теорема и какое мы получаем удовольствие от ее первого открытия. Напомним, что первая часть этой теоремы, связывающая объемы цилиндра и вписанной в него сферы, была доказана Архимедом и почиталась им как лучшее из всех своих замечательных открытий.