Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Интересно рассмотреть случай, когда корреляция между двумя рыночны­ми системами приближается к -1,00. В этом случае сумма для финансирова­ния сделок по рыночным системам стремится стать бесконечно малой. Дело в том, что в таком портфеле почти не будет проигрышных дней, так как про­игранная в данный день одной рыночной системой сумма возмещается сум­мой, выигранной другой рыночной системой в тот же день. Поэтому с помо­щью диверсификации возможно получить оптимальный портфель, который размещает меньшую долю f (в долларах) в данную рыночную систему, чем при торговле только в этой рыночной системе. Для этого для каждой рыночной системы вы можете разделить оптимальное f в долларах на количество рыночных систем, в которых работаете. В нашем приме­ре, вместо того чтобы выбрать 5000 долларов в качестве оптимального f для рыноч­ной системы А, нам следует использовать 2500 долларов (разделив 5000 долларов, оптимальное f, на 2, количество рыночных систем, в которых мы собираемся тор­говать), и таким же образом следует поступить с рыночной системой В. Теперь, когда мы используем данную процедуру для определения оптимального среднего геометрического портфеля, который состоит из 50% для А и 50% для В, это означа­ет, что нам следует торговать 1 контрактом на каждые 5000 долларов на балансе для рыночной системы А ($2500 / 0,5) и аналогично для В. В качестве еще одной рыночной системы вы можете использовать систему беспроцентного вклада. Это активы, не приносящие дохода, с HPR = 1,00 каждый день. Допустим, в нашем предыдущем примере оптимальный рост по­лучен при 50% для системы А и 40% для системы В. Другими словами, следует торговать 1 контрактом на каждые 5000 долларов на балансе для рыночной си­стемы А и 1 контрактом на каждые 6250 долларов для В ($2500 / 0,4). При ис­пользовании беспроцентного вклада в качестве другой рыночной системы это была бы одна из комбинаций (оптимальный портфель, который на 10% в деньгах). Если ваш портфель, найденный с помощью этой процедуры, не содержит сис­тему беспроцентного вклада в качестве одной из составляющих, тогда вы должны повысить используемый фактор и разделить оптимальные f в долларах, использу­емые в качестве вводных данных. Возвращаясь к нашему примеру, допустим, мы использовали беспроцентный вклад и две рыночные системы, А и В. Далее пред­положим, что наш итоговый оптимальный портфель не содержит систему бес­процентного вклада. Пусть оптимальный портфель оказался на 60% в рыночной системе А, на 40% в рыночной системе В (возможна любая другая процентная комбинация, веса которой в сумме дают 100%) и на 0% в системе беспроцентного вклада. Если бы мы разделили наши оптимальные f в долларах на два, то этого было бы недостаточно. Мы должны разделить их на число, больше 2. Итак, мы вернемся и разделим наши оптимальные f в долларах на 3 или 4, пока не получим оптимальный портфель, который включает систему беспроцентного вклада. Ко­нечно, в реальной жизни это не означает, что мы должны размещать какую-либо часть нашего торгового капитала в беспроцентные вклады. Беспроцентные акти­вы стоит использовать для того, чтобы определить оптимальную сумму средств на 1 контракт в каждой рыночной системе при сравнении нескольких рыночных систем. Вы должны знать, что сумма процентных весов портфеля, при которых дости­гался наибольший геометрический рост в прошлом, может быть выше 100%. Это­го можно достичь, разделив оптимальное f в долларах для каждой рыночной сис­темы на некое целое число (которое обычно является числом рыночных систем), включив беспроцентный вклад (то есть рыночную систему с HPR = 1,00 каждый день) в качестве еще одной рыночной системы. Корреляции различных рыноч­ных систем могут оказать серьезное воздействие на портфель. Важно понимать, что портфель может быть больше, чем сумма его частей (если корреляции его со­ставляющих частей достаточно низки). Также возможно, что портфель будет меньше, чем сумма его частей (если корреляции слишком высоки). Рассмотрим снова игру с броском монеты, где вы выигрываете 2 доллара, ког­да выпадает лицевая сторона, и проигрываете 1 доллар, когда выпадает обратная сторона. Каждый бросок имеет математическое ожидание (арифметическое) пятьдесят центов. Оптимальное f составляет 0,25, то есть надо ставить 1 доллар на каждые 4 доллара на счете, а среднее геометрическое составляет 1,0607. Теперь рассмотрим вторую игру, где сумма, которую вы можете выиграть при броске мо­неты, составляет 0,90 долларов, а сумма, которую вы можете проиграть, — 1,10 долларов. Такая игра имеет отрицательное математическое ожидание -0,10 долла­ра, таким образом, здесь нет оптимального f и соответственно нет и среднего гео­метрического. Посмотрим, что произойдет, когда мы будем играть в обе игры одновременно. Если корреляция этих игр равна 1,0 (то есть мы выигрываем при выпадении лице­вой стороны, а монеты всегда падают либо на лицевые стороны, либо на обрат­ные стороны), тогда результаты были бы следующими: мы выигрываем 2,90 дол­лара при выпадении лицевой стороны или проигрываем 2,10 доллара при выпа­дении обратной. Такая игра имеет математическое ожидание 0,40 доллара, оптимальное f= 0,14 и среднее геометрическое 1,013. Очевидно, что это худший подход к торговле с положительным математическим ожиданием. Теперь допустим, что игры имеют отрицательную корреляцию. То есть, когда монета в игре с положительным математическим ожиданием выпадает на лице­вую сторону, мы теряем 1,10 доллара в игре с отрицательным ожиданием, и нао­борот. Таким образом, результатом двух игр будет выигрыш 0,90 доллара в одном случае и проигрыш -0,10 доллара в другом случае. Математическое ожидание все еще 0,40 доллара, однако оптимальное f= 0,44, что дает среднее геометри­ческое 1,67. Вспомните, что среднее геометрическое является фактором роста вашего счета в среднем за одну игру.. Это означает, что в такой игре в среднем можно ожидать выигрыша в 10 раз больше, чем в уже рассмотренной одиночной игре с положительным математическим ожиданием. Однако этот результат по­лучен с помощью игры с положительным математическим ожиданием и ее ком­бинирования с игрой с отрицательным ожиданием. Причина большой разницы в результатах возникает из-за отрицательной корреляции между двумя рыноч­ными системами. Мы рассмотрели пример, когда портфель больше, чем сумма его частей.