Матвей Петрович Бронштейн

Если на отдельное измерение импульса затрачивается время At (при этом должно быть At<

ленность величины h01 , связанная с неопределенностью скорости отдачи vx~Ax/At, имеет порядок

и согласно (2) неопределенность напряженности гравитационного поля

Соответствующая неопределенность импульса, связанная с собственным гравитационным полем пробного тела, имеет тогда порядок

Тогда

(6)

Продолжительность измерения импульса At ограничивается снизу двумя условиями. Во-первых, должно быть At>Ax/c, чтобы скорость отдачи, вызванной изменением импульса, была меньше скорости света. Отсюда и из (5) следует

Во-вторых, из самого смысла измерения поля в объеме V следует, что величина Ax должна быть меньше размеров пробного тела: Ax

Получив эти две нижние границы для At, Бронштейн отмечает, что отношение первой из них ко второй

«зависит от массы пробного тела, будучи совершенно ничтожной величиной в случае электрона и становясь величиной порядка 1 в случае пылинки, весящей сотую долю миллиграмма». Для неопределенности AT1j00 получаются соответственно две границы

Поскольку, как видно отсюда, для возможно более точного измерения Г1,00 в данном объеме V следует применять пробные тела возможно большей массы (плотности), то существенной становится только первая граница.

Бронштейн указывает, что предыдущие рассуждения аналогичны соответствующим рассуждениям в квантовой электродинамике (при этом ссылается на свою заметку 1934 г.) и пишет: «Но на этом месте приходится принять во внимание обстоятельство, из которого обнаруживается принципиальное различие между квантовой электродинамикой и квантовой теорией гравитационного поля. Различие это заключается в том, что в формальной квантовой электродинамике, не учитывающей структуры элементарного заряда, нет никаких принципиальных причин, ограничивающих увеличение плотности р. При достаточно большой плотности заряда пробного тела точность измерения компонент электрического поля может быть сделана какой угодно. В природе, вероятно, существуют принципиальные ограничения плотности электрического заряда (не больше одного элементарного заряда на объем с линейными размерами порядка классического электронного радиуса), однако эти ограничения не учитываются формальной квантовой электродинамикой... Не то — в квантовой теории гравитационного поля: она должна считаться с ограничением, вытекающим из того, что гравитационный радиус пробного тела (KpV) не может превосходить его действительных линейных размеров

Если это учесть, то (10) дает «абсолютный минимум неопределенности»

Конечно, этот «абсолютный предел вычислен очень грубо, потому что при достаточно большой массе измерительного прибора начнут, вероятно, играть роль отступления от принципа суперпозиции...»; однако Бронштейн считает, что «аналогичный результат сохранится и в более точной теории, так как он нисколько сам по себе не вытекает из принципа суперпозиции, а соответствует лишь тому факту, что в общей теории относительности не может существовать тел сколь угодно большой массы при заданном объеме. В электродинамике нет никакой аналогии этому факту... вот почему квантовая электродинамика возможна без внутренних противоречий». Указав, что в теории гравитации «это внутреннее противоречие никак не может быть обойдено», Бронштейн пришел к выводу:

«В области общей теории относительности, где отклонения от "евклидовости" могут быть сколь угодно велики... возможности измерения еще более ограничены, чем можно заключить из квантово-механических перестановочных соотношений» и «без глубокой переработки классических понятий кажется едва ли возможным распространить квантовую теорию гравитации также и на эту область» [30, с. 276] .

Именно так впервые были обнаружены границы применимости общей теории относительности — неквантовой релятивистской теории гравитации.

Само существование таких границ предвиделось и раньше — вспомним замечание Эйнштейна 1916 г. о том, что квантовая теория должна модифицировать теорию гравитации, неудовлетворенность Эйнштейна тем, что «линейки и часы», используемые в построении ОТО, рассматривались безо всякого учета их микроскопического строения, упоминавшееся замечание Клейна 1927 г. Однако все такие соображения имели логический или методологический характер. Бронштейновский анализ проведен на физическом, количественном языке.

в) Планковские масштабы в cGh-физике. Нынешнему читателю в этом анализе не хватает только так называемых планковских величин, которые в наши дни появляются во всяком обсуждении квантовых границ ОТО. Эти величины представляют собой комбинации из фундаментальных констант с, G и h вида

и могут иметь любые размерности (длины, времени, плотности и т. д.). Именно планковские величины сопоставляются границам ОТО, обусловленным необходимостью ее квантового обобщения.

При этом аргументы, приводимые в обоснование, весьма различны — от эскизов будущей теории квантовой гравитации до соображений размерности. А так как последние не требуют каких-либо сложных построений, можно предположить, что квантово-гравитационная роль планковских величин была известна очень давно, чуть ли не самому Планку [124—125].

(использованы современные обозначения и величины констант). Выпишем еще выражение для планковской плотности

Однако в действительности эти величины Планк ввел, безо всякой связи с квантовой гравитацией, в 1899 году, когда еще не было и самой квантовой теории. Он предложил «естественные единицы измерения», которые «обязательно сохраняли бы свое значение для всех времен и для всех культур, в том числе и внеземных и нечеловеческих» [254, с. 232]:

определяющей квантово-гравитационную эпоху в космологии.

В явном виде на квантово-гравитационное значение планковских величин было указано лишь в середине 50-х годов почти одновременно несколькими физиками — О. Клейном, Л. Д. Ландау, В. Паули и Дж. Уилером (об истории планковских величин см. [168, гл. 5]). Однако неявно такие величины есть, конечно, уже у Бронштейна, поскольку в его анализ вовлечены все три константы: с, G и h. Его рассуждения легко дополнить так, чтобы планковские величины возникли и явным образом. Собственно, одна такая величина — планковская масса — появилась уже в тексте Бронштейна. Это та самая «пылинка, весящая сотую долю миллиграмма», для которой неопределенности (7) и (8) имеют одинаковый порядок (в статье [30] выписано даже явное выражение для планковской массы).

Тогда границы (7), (8) превращаются в

Чтобы планковские величины «проявились», можно рассуждать так. Будем стремиться измерять гравитационное поле не только с наименьшей неопределенностью, но и в наименьшем возможном объеме, стремясь определить «поле в данной точке». Тогда уже придется рассматривать обе границы (7), (8), а не только первую из них. Для уменьшения неопределенности Г100 надо использовать максимальную возможную плотность пробного тела; в силу (12) это

При этом соответствующие размеры пробного тела

и, наконец, минимальная неопределенность напряженности гравитационного поля Г

По самому смыслу измерения напряженности, усредненной за промежуток времени Т, должно выполняться условие At

Если же мы учтем, что неопределенность в измерении гравитационного поля следует оценивать по суммарному воздействию на пробное тело — работе напряженнос1т/и3 на расстоянии порядка размеров тела Ag=Ar-V13 (эта же величина описывает неопределенность метрики), то получим

Таким образом, область применимости классической теории гравитации и пространства-времени ограничивается действительно планковскими величинами.

Чтобы получить планковские масштабы для квантово-гравитационных явлений, не обязательно привлекать анализ измеримости, как Бронштейн в 1935 г., или фейнмановский интеграл, как Уилер в 1955 г. Достаточно простейшим способом ввести в рассмотрение константы с, G и h. Можно это сделать уже на уровне физики 1913 г. Рассмотрим две точечные частицы массы М, связанные гравитационным взаимодействием и движущиеся по круговой орбите радиуса R. Подчиним эту систему классической механике Ma=Mv2/R— =GM2/(2R)2 и квантовому постулату Бора 2MvR=nh, n=1, 2,... Чтобы выяснить, при каких значениях параметров Ми R описание системы должно существенно учитывать квантово-релятивистские эффекты, нужно положить, что п достаточно близко к единице и скорость v достаточно близка к скорости света с. Тогда легко получить, что квантово-гравитационной области соответствует одновременная близость М и R к планковским значениям. Однако при этом глубокий пространственно-временной смысл cGh-границ остается, конечно, незаметным.

г) Восприятие квантово-гравитационных границ. Если бы даже в 30-е годы были известны планковские характеристики квантово-гравитационных границ, решиться т-3о3гда гово-р5ить о н1и9х было нелегко. Ведь величины 10-33 см и 10-5 г (=1019 ГэВ) фантастически далеки от насущных для физики того времени величин ядерных масштабов 10-13 см и 1 ГэВ.

Вот что писал в 1930 г. Гейзенберг: «Часто высказывается надежда, что квантовая теория после разрешения только что названных проблем [связанных с релятивистской формулировкой квантовой теории], может быть, снова будет в значительной степени сведена к классическим понятиям. Но даже поверхностный взгляд на развитие физики за последние тридцать лет показывает нам, что скорее, наоборот, можно ожидать еще более широких ограничений классического мира понятий. В добавление к изменениям нашего обыкновенного пространственно-временного мира, которые были потребованы теорией относительности и для которых характерна постоянная с, и к соотношениям неопределенности квантовой теории, символом которых может служить планковская постоянная h, появятся еще другие ограничения, стоящие в связи с универсальными постоянными е, ц [масса электрона], М (масса протона)» [158, с. 79].

Это высказывание вполне отражало общественное мнение в физике 30-х годов. Если же в прогнозе Гейзенберга вместо е, ц, M подставить G, то это едва ли нашло бы сочувствие у кого-нибудь в те годы. В частности, потому, что тогда не было идей,-3к3оторые мо-1г3ли хотя бы эскизно соединить величины 10-33 см и 10-13 см (такие идеи появились только совсем недавно [262]). Но, как следует из бронштейновского анализа и в соответствии с общим взглядом на теоретическую физику через магический cGh-куб (см. разд. 5.3), для замены набора с, h, е, ц, М на с, G, h основания были.

Видя эти основания и доверяя своему зрению, Бронштейн в подробном изложении своей работы [31] уточнил, глубокая переработка каких понятий потребуется в полной квантовой теории гравитации:

«Устранение связанных с этим [с принципиально ограниченной измеримостью гравитационно-геометрических величин] логических противоречий требует радикальной перестройки теории и, в частности, отказа от римановой геометрии, оперирующей, как мы здесь видим, принципиально не [55] наблюдаемыми величинами — а может быть, и отказа от обычных представлений о пространстве и времени и замены их какими-то гораздо более глубокими и лишенными наглядности понятиями. Wer's nicht glaubt, bezahlt einen Taler».

Пафос фундаментального вывода уравновешивается немецкой фразой, весьма необычной для ЖЭТФа. Этой фразой («Кто не верит, тот платит талер») кончается и сказка братьев Гримм «Про умного портняжку», в которой говорится о совершенно невероятных (даже по сказочным стандартам) деяниях портняжки, который «был человек на вид неказистый и порядочный растяпа, да и в ремесле своем не искусник». В художественном переводе фраза звучит так: «А кто сказке моей не верит, пусть талер дает живей!» [175, с. 334].

Появление немецкой поговорки на страницах ЖЭТФа может сказать нам кое-что о самом Бронштейне — о его эмоциональной интеллектуальности, органичной самоиронии, независимости (разве положено последовательность выкладок завершать поговоркой?).

Но в этом расширении обычного словаря теоретика можно усмотреть и тогдашнее умонастроение его коллег.

Теоретики уже успели привыкнуть к прорицаниям, грозящим революцией пространству-времени. И, как бывает с предсказаниями, которые не спешат сбываться, они уже надоели. В 1935 г. ожидание фундаментальных перемен не сковывало теоретиков, как в начале 30-х. Экспериментальные открытия (нейтрон, позитрон) и теория Ферми (узаконившая нейтрино) дали физике микромира обширное поле деятельности. И в этих обстоятельствах, чтобы вновь провозгласить неизбежность перестройки пространственно-временных понятий, требовалось известное мужество. У Матвея Петровича Бронштейна оно было.

Только спустя десятилетия вывод Бронштейна стал признан, хотя и сейчас еще квантовая «радикальная перестройка» теории гравитации остается нерешенной задачей.

Квантовые границы ОТО обнаружил вновь в 1955 г. Уилер, два года спустя в связи с этим вспомнили о планковских величинах [167]. В наше время планковские величины — стандартный синоним квантовой гравитации, «очевидные» границы ОТО. Еще более очевидно сейчас само существование таких границ. Однако дело обстояло совсем иначе в 30-е годы.

Бронштейн относился к анализу измеримости достаточно серьезно, поскольку в кратком изложении своей работы, существенно сократив другие разделы, анализ измеримости дал практически полностью. Но другие физики восприняли его результат о принципиальной квантовой ограниченности ОТО без должного понимания. Например, Фок, реферируя статьи Бронштейна [30, 31], нашел для этого результата лишь весьма неопределенные слова: «развиты некоторые соображения об измеримости поля» [276]. Выступая на защите и высоко оценив работу в целом (см. также [275, 278]), он скептически отнесся к анализу измеримости, усматривая прямую аналогию между нелинейностью ОТО и нелинейностью электродинамики Борна—Инфельда и сопоставляя гравитационный радиус в ОТО радиусу электрона в теории Борна—Инфельда [173, с. 318]. Отвечая на это замечание, Бронштейн в такой аналогии усомнился и был, конечно, ближе к истине.

Между нелинейной теорией гравитации (ОТО) и нелинейной электродинамикой Борна—Инфельда есть глубокое различие. Нелинейность ОТО в большой степени однозначна, и физическая причина этой нелинейности — принцип эквивалентности. А нелинейный лагранжиан Борна—Инфельда «сделан руками»:

здесь LM — обычный максвелловский лагранжиан, 8 — малая константа. Сам тип нелинейности не следовал из каких-либо глубоких физических соображений. Теория Борна—Инфельда была нацелена специально на проблему бесконечной собственной энергии электрона, а лагранжиан выбирался так, чтобы этой проблемы не возникало уже на классическом уровне. При этом радиус электрона ге=е2/тс2 появлялся только как характерное расстояние! начиная с которого поведение поля E~e/(r +re) существенно отклоняется от кулоновского.

Поэтому действительно нельзя согласиться с Фоком в том, что имеется аналогия между радиусом электрона в теории Борна—Инфельда и гравитационным радиусом, существование которого связано с фундаментальным физическим фактом — равенством гравитационной и инертной масс, или теоретическим выражением этого факта — принципом эквивалентности.

Роль принципа эквивалентности можно продемонстрировать, сопоставляя мысленные эксперименты по измерению электромагнитного и гравитационного полей.

Вернемся к итоговой формуле для неопределенности поля из п. а):

здесь р и ц — плотности заряда и массы пробного тела, Ax — его размер. Эта формула оправдывает понятие «электромагнитное поле в точке». Однако оправдание достигается за счет возможности использовать пробное тело с произвольно большими и независимыми плотностями заряда и массы. Такая возможность физически, конечно, фиктивна, поскольку неизвестно даже мысленных процедур изготовления соответствующих пробных тел; но теоретически эта идеализация допустима, потому что внутри самой электродинамики для нее нет запрета (значения элементарного электрического заряда и массы элементарных частиц вводятся в электродинамику извне).

Однако при переходе к гравитации такой запрет появляется. Его можно сформулировать по-разному. Например, ясно, что нельзя независимо распоряжаться величинами плотности «гравитационного заряда» и плотности массы, потому что имеется связь

Эта связь составляет суть принципа эквивалентности, на котором основана ОТО. И именно эта связь делает невозможным уменьшение неопределенности гравитационного поля АГ вместе с уменьшением размеров пробного тела Ах—0. Бронштейн такой запрет связал с невозможностью существования пробного тела с размерами, меньшими его гравитационного радиуса.

А проще всего (хотя и не так убедительно) попытаться перенести в теорию гравитации замечание Бора—Розенфельда [121, с. 121]: «...возникающие здесь разнообразные проблемы могут быть рассмотрены раздельно в силу того, что сам по себе аппаратквантовой электромагнитной теории независим от тех или иных представлений об атомном строении материи. Последнее явствует уже из того, что из числа универсальных констант в него входит помимо скорости света только квант действия; а из этих двух констант, очевидно, еще нельзя составить какую-либо характерную длину или интервал». В релятивистской квантовой гравитации должны действовать три фундаментальные константы с, G и h, из которых уже можно составить характерную длину) .

К анализу пределов применимости ОТО, проведенному Бронштейном, не следует предъявлять претензии в недостаточной строгости. Точное описание области применимости ОТО даст только анализ в рамках (еще несуществующей) полной квантовой теории гравитации.

И в наше время проблема измеримости гравитационного поля, так же как и гравитационное излучение атомных электронов, о котором говорил Эйнштейн, отнюдь не являются задачами практического значения. Однако, когда речь идет, по выражению Эйнштейна, о внутреннем совершенстве теории, физик имеет право рассматривать все возможности, не запрещенные самой теорией. Поскольку в теории гравитации нет запретов на рассмотрение атома и квантовых систем вообще, то величина эффекта не имеет значения для анализа теории средствами самой теории. И мысленный эксперимент по измеримости гравитационного поля — это, конечно, лишь некоторый способ анализировать внутреннее совершенство теории[56]. Однако история физики показывает, что именно теории высокого внутреннего совершенства достигали особенно значительного внешнего оправдания, преобразуя технику и жизнь человеческого общества в целом.

В настоящее время задача квантования гравитации не стоит изолированно. Без ее решения вряд ли будет построена единая теория фундаментальных взаимодействий. Так что дорога, на которую в 30-е годы вступил Матвей Петрович Бронштейн, вела в самый центр исследований современной физики.