Механика от античности до наших дней

В двух работах М. Ш. Аминова: «Об устойчивости вращения твердого тела переменной массы вокруг неподвижной точки» (1958) и «Некоторые вопросы движения и устойчивости твердого тела переменной массы» (1959) — содержатся некоторые общие результаты: для системы п материальных точек переменной массы, подчиненной идеальным голономным связям, формулируется принцип Гамильтона-Остроградского, который затем применяется к выводу дифференциальных уравнений движения твердого тела переменной массы вокруг неподвижной точки и для свободного движения тела переменной массы. Устойчивость вращения тяжелого тела переменной массы с одной закрепленной точкой исследуется в предположениях, аналогичных тем, которые характеризуют классический случай Лагранжа. Были получены достаточные условия устойчивости равномерного вращения вокруг вертикальной оси симметричного тела переменной массы.

В течение ряда лет в области ракетодинамики значительное место занимали задачи, которые можно охарактеризовать как задачи внешней баллистики неуправляемых ракет. Над такими проблемами работали и за рубежом. Военные годы, естественно, вызвали повсеместно задержку публикаций. Когда же стали появляться журнальные статьи и книги по теории неуправляемых ракет, то выяснилось, что методы исследования и способы расчета применялись разные, но по сути в советских работах были получены все существенные результаты, какие удалось найти зарубежным ученым. Для решения первой основной проблемы внешней баллистики неуправляемых ракет — в расчете траекторий — были использованы общие положения механики тел переменной массы. Для вывода уравнений движения в общем случае достаточен восходящий к Мещерскому принцип затвердевания для системы переменной массы с твердой оболочкой. Вторая основная проблема внешней баллистики неуправляемых ракет — проблема рассеяния, или проблема кучности, — требует, разумеется, привлечения вероятностных методов. Советские исследования в этой области в основном подытожены в книге Ф.Р. Гантмахера и Л.М. Левина «Теория полета неуправляемых ракет», изданной в 1959 г.

Особый интерес в механике переменных масс представляют экстремальные задачи. А.А. Космодемьянский в работе «Механика тела переменной массы» отмечает, что вариационные методы решения задач внешней баллистики для тел переменной массы являются наиболее естественными и адекватными механической сущности поставленной проблемы. В самом деле, дифференциальные уравнения движения на активном участке полета (т. е. пока работает двигатель) содержат в качестве коэффициентов некоторую функцию и ее первую производную. Интегралы этих уравнений, следовательно, будут зависеть не только от произвольных постоянных, но и от вида некоторой функции и ее первой производной, т. е. будут функционалами. Следует думать, что применение мощного аппарата вариационного исчисления обеспечит значительный прогресс в механике переменной массы. Еще в 1934 г. на- Всесоюзной конференции по изучению стратосферы М.В. Мачинский и А.Н. Штерн в докладе «Научные проблемы ракетного движения» рассмотрели задачу о прямолинейном вертикальном полете ракеты, пользуясь вариационным методом. В докладе приведен вывод уравнения, решающего вопрос о полете ракеты с наименьшей затратой горючего.

Систематически применялись вариационные методы А.А. Космодемьянским. В частности, в работе «Экстремальные задачи динамики точки переменной массы» (1946) им поставлены и решены задачи определения максимальной высоты подъема ракеты и задача достижения ракетой заданной высоты в минимальное время (при наличии сил сопротивления среды). А.Ю. Ишлинский еще в 1944 г. в работе «Два замечания к теории движения ракет» показал, что для однородной атмосферы задачу о максимальной высоте подъема ракеты можно привести к простейшей задаче вариационного исчисления с помощью соответствующей замены переменных.

Эта идея была развита в работах Д.Е. Охоцимского и А.А. Космодемьянского.

Задача о максимальной горизонтальной дальности ракеты в среде без сопротивления и задача о подъеме ракеты на максимальную высоту при наличии сопротивления воздуха с учетом изменения плотности воздуха и его температуры с высотой решена в работе Д.Е. Охоцимского «К теории движения ракет» (1946) методом вычисления первой вариации. Особенностью этих двух вариационных задач является то, что искомые характеристики движения представляют собой функционалы, заданные неявно посредством дифференциальных уравнений движения и некоторых начальных условий, при этом нельзя получить явное выражение этих функционалов через функцию, выражающую зависимость изменения массы от времени и их первых вариаций при варьировании этой функции. Кроме того, экстремальное значение достигается на кривых, имеющих угловые точки. А.А. Космодемьянский в своем курсе «Лекции по механике тел переменной массы» упростил решение задачи о максимальной высоте подъема ракеты в неоднородной атмосфере, показав, что ее можно рассматривать как вариационную задачу с неголономными связями.